3.1.1.       Простые вещественные собственные числа

При решении этой задачи обычно используются собственные векторы матриц. Папомним, что собственным вектором некоторой пхп-матрицы А, отвечающим собственному значению Si называется такой вектор ж? / О, для которого выполнено равенство [53, 115]

Таким образом, собственный вектор - это ненулевой вектор, который при линейном преобразовании с матрицей А остается коллинеарным самому себе. Очевидно, что собственные векторы определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, т.е. если ж? - собственный вектор и Л / О, то Лж? также является собственным вектором матрицы А. Поэтому каждый вещественный собственный вектор определяет некоторое собственное направление, или собственную прямую в пространстве TZ”. ^

Пусть вещественная матрица А имеет диагональную форму Л = diagjsi, $2, ■ ■ ■ , Sn}, Ims,' = О, г = 1, 2, ... , п. Подставляя ее в выражение (3.2) и учитывая, что диагональные элементы матрицы А совпадают с собственными значениями, находим, что единичные векторы ж? = е,- = [О,...  • • • ,0]^ являются

І

собственными векторами ж? данной матрицы. Собственными направлениями, таким образом, здесь являются оси ортогональной системы координат. Нетрудно убедиться, что при простых собственных числах матрицы А других собственных векторов нет. Покажем, что матрица приведения Т к диагональной канонической форме (2.4) при простых вещественных собственных числах определяется из выражения

где ж? (г = 1, 2, ... , п) - собственные векторы матрицы А.

Действительно, пусть s,- - собственные числа, а ж? - собственные векторы пхп-матрицы А, т.е. Лж? = з^х°, ж? / О, (г = 1,2,... ,п). Пусть также известно, что данная матрица связана некоторым соотношением подобия с диагональной, т.е. выполнено Л = ТАТ~^, detT ф А = diagjsi, 82,... , «„}• Образуем модальную матрицу Р Объединяя

записанные выше выражения для собственных векторов в одно матричное соотношение, получаем АР = РА. Отсюда при линейной независимости ж? получим Л = Р~^АР, следовательно, Т = Р~^, что непосредственно дает выражение (3.3).

Замечание. Здесь не обсуждался вопрос о линейной независимости собственных векторов {ж?}, что, очевидно, необходимо для существования матрицы Т вида (3.3). Как известно [53, 115], при простых собственных числах s,- матрицы Л это условие выполнено, а именно данный случай и рассматривается в настоящем парарафе.