3.1.2. Простые мнимые собственные числа

Рассмотрим теперь более общий случай приведения уравнений состояния системы к блочно-диагональному виду (2.4).

Считаем, что все корни характеристического многочлена матрицы А нонарно различны, но среди них имеются комнлексно- сонряженные    = а*- ]Рі, {f = —1), cti = Res,_,_|_i, /3,- =

|Ims,_,_|_i|. В этом случае матрица А также имеет п линейно независимых собственных векторов и изложенный в н. 3.1.1. с. 81, алгоритм применим. Однако полученная в результате такого преобразования диагональная матрица А = diagjsi, S2, , Sn}, как и матрица преобразования Т, будет содержать мнимые элементы, что вызывает трудности при их последующем использовании. Поэтому рассмотрим алгоритм, позволяющий получить вещественную блочно-диагональную форму вида (2.4) [47, 79].

Пусть имеются собственные значения    = а*- ± j/3,-, ко

торым отвечают собственные векторы    Можно пока

зать [79, 115], что всегда есть множитель XeTZ, Л / О такой, что ж?, Аж?^^ - комплексно-сопряженные. Поэтому будем считать, что выполнено условие ж?^^ = сощ(ж°), где conj(-) - операция комплексного сопряжения. Определим теперь векторы hi, формулами

Векторы hi, по построению вещественные и, если все собственные числа простые, линейно независимы между собой и с другими собственными векторами. Эти векторы определяют в пространстве?^" некоторую собственную плоскость - инвариантное подпространство матрицы А размерности два. ^

Построим теперь матрицу преобразования

где вектор-столбцы ж? отвечают вещественным, а hj,hj^i - мнимым собственным значениям Sjj+i = aj ± jfSj. Преобразование А = ТАТ~^ с найденной таким образом матрицей Т

приводит уравнения системы к вещественной блочно-диагональной форме (2.4), в которой порядок следования блоков соответствует порядку расположения столбцов hj у матрицы Р = Т~^.

Приведение уравнений состояния к вещественной жорда- новой форме при наличии кратных собственных чисел здесь не рассматривается. Заметим, однако, что если вид матрицы Жордана (2.6) определен, то для вычисления матрицы Т можно непосредственно использовать формулу (3.1). Для кратных вещественных собственных чисел формулы вычисления Т в явном виде приведены, например, в [47].

Заметим, что если матрица А в исходных уравнениях состояния имеет вид матрицы Фробениуса (2.10), что соответствует формам УКП и НКП, собственные векторы определяются достаточно просто. Непосредственной подстановкой можно установить, что такая матрица имеет собственные векторы х° = [1, S,', sf,... , , (г = 1,2,.. . ,п). Если собственные числа простые, то полученная система векторов линейно независима и определяет матрицу Т перехода к диагональной, или блочно-диагональной, форме.