3.2.1.       О возможности преобразования матрицы к форме Фробениуса

В канонических формах УКП и ПКП (см. п.п. 2.2. 2.3.) матрица А должна иметь вид матрицы Фробениуса (2.10). Кроме того, в форме УКП задается вид матрицы В, а в форме ПКП

-    матрицы С.

Заметим прежде всего, что не для всякой матрицы имеется преобразование подобия к виду (2.10). Как известно [53, 115], для матрицы вида (2.10) характеристический многочлен A(s) = det(sl„ — А) совпадает с ее минимальным многочленом. ® Верно также и обратное: каждая матрица, у кото-

рой приведенный характеристический многочлен совпадает с минимальным, может быть приведена к виду матрицы Фробениуса. Например, поскольку это выполнено для матриц с простыми собственными числами, то каждая такая матрица может быть приведена невырожденным преобразованием к виду (2.10).

Возможность приведения матрицы к виду (2.10) в общем случае зависит от размера клеток жордановой формы (2.6). Если размер каждой клетки совпадает с кратностью соответствующего вещественного собственного значения или равен удвоенной кратности мнимых (комплексно-сопряженных) собственных значений, то такая матрица может быть приведена и к виду (2.10) [115]. В противном случае такая возможность отсутствует.

Замечание. Помимо жордановой формы матрицы А, известна и другая блочно-диагональная форма {первая естественная нормальная форма [53, 115]), в которой матрица А имеет вид

где L,', г = 1,2,... ,г - блоки вида (2.10). Подобно канонической форме Жордана, данная форма может быть получена для любой матрицы А.

Предполагая возможным преобразование матрицы А к виду (2.10), рассмотрим алгоритмы приведения уравнений состояния к формам УКП и НКП.

Как и в п. 2.2. с. 74, остановимся на системах с одним входом - u{t) G TZ. Прежде чем перейти непосредственно к данному преобразованию, рассмотрим несколько более общую задачу.

Пусть даны пхп-матрицы А, Ап п-мерные вектор-столбцы Ь, Ь. Требуется найти невырожденную матрицу Т такую, что выполнено

т.е. пары матриц [А, Ь) и [А, Ь) отвечают приведенным в п. 1.8. с. 60, соотношениям для преобразования базиса уравнений состояния. ®

Умножим выражение для Ь в (3.6) слева на матрицу А. Получим ЛЬ = АТЪ. Учитывая первую формулу в (3.6) (см. п. 3.1 с. 86), находим, что ЛЬ = ТАЪ. Снова, умножив полученное выражение на Л и учитывая (3.1), получаем Л^Ь = ТЛ^Ь. Продолжая этот процесс, приходим к системе уравнений:

Введем пхп-матрицы

С учетом введенных обозначений уравнения (3.7) принимают вид

Если выполнены условия: det(sl„ — Л) = det(sl„ — Л), detQ ф О, detQ / О, то существует и единственна невырожденная матрица преобразования Т, определяемая выражением

при которой матрицы А, Ъ и А, Ь связаны соотношением (3.6): А = ТАТ~\ Ь = ГЬ. ^

Обратимся теперь непосредственно к поставленной задаче преобразования уравнений состояния к форме УКП, ограничиваясь рассмотренными в главе 2.2. с. 74, SISO и SIMO- системами. В данной канонической форме матрица А должна иметь вид матрицы Фробениуса (2.10), а матрица В = [О, О, ...,0,1] . Именно в таком виде запишем матрицы А, В уравнений состояния в новом базисе. Предварительно следует вычислить коэффициенты а,- характеристического многочлена A(s) = s” + ais”~^ + a2s„_2~\  \-a„_iS + a„ исходной матрицы А. Приравнивая теперь Ь = і?, Ь = і? = [О, О, ... , О, 1] , найдем матрицы Q, Q по (3.8). Если выполнено detQ /

О,   detQ / О, то преобразование к УКП возможно и его матрица определяется уравнением (3.9). Для вычисления соот- ветствуюш;ей матрицы С используем соотношение С = СТ~^.

Замечание. Как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, для матриц А, В указанного вида условие detQ ф О выполнено всегда (вне зависимости от коэффициентов а,). Поэтому требуется проверить только невырожденность матрицы Q исходной системы. Кроме того, специальный вид матриц А, В позволяет получить достаточно простую формулу для Q [3, 47].