3.2.3.       Наблюдаемое каноническое представление

Описанный выше прием можно использовать и для перехода к другим формам уравнений состояния, для которых задан вид матриц Л и С*, например - к описанной в п. 2.3. с. 76, форме ПКП. Ограничимся рассмотрением SISO- и MISO-систем {y{t)  = 1). Предварительно рассмотрим более обш;ую

задачу.

Пусть даны пхп-матрицы А, А и п-мерные вектор-строки с, с. Требуется найти невырожденную матрицу Т такую, что

выполнено

т.е. пары матриц [А, с) и [А, с) отвечают приведенным в п. 1.8. с. 60, соотношениям для преобразования базиса уравнений состояния. ®

Умножим выражение для с в (3.10) справа на матрицу А. Получим сА = сАТ~^. Учитывая первую формулу в (3.10), находим, что сА = сАТ~^. Снова умножив полученное выражение на Л и учитывая (3.1), получаем сА^ = сА^Т~\ Как и в пункте 3.2.2., после ряда итераций, приходим к системе уравнений

Введем пхп-матрицы

Уравнения (3.11) можно тогда переписать в виде

При выполнении условий det(sl„ — А) = det(sl„ — А), detQ ф О, detQ ф О суш;ествует и единственна невырожденная матрица преобразования

так что матрицы А, с и Л, с связаны соотношением (3.10).

Рассмотрим теперь непосредственно переход к форме ПКП, для SISO-, MISO-систем. В этом базисе матрица Л должна иметь вид матрицы Фробениуса (2.10), а матрица С = [1,

о, ... , о, 0]. в таком виде и выберем матрицы А, С уравнений состояния в новом базисе. Вычислим коэффициенты а,- характеристического многочлена A(s) = s" -Ь ais”~^ + a2S„-2 + • • • + a„-is + a„ исходной матрицы A. Приравнивая теперь с = С, с = С* = [1, О, ... , О, 0], найдем матрицы Q, Q по (3.12). Если выполнено detQ ф О, detQ / О, то преобразование к ПКП возможно и его матрица определяется уравнением (3.13). Для вычисления матрицы В используем соотношение В = ТВ.

Замечание. Для матриц А, С указанного вида Q = 1„. Поэтому detQ ф О при любых коэффициентах а,-. Следовательно, требуется проверить только невырожденность матрицы Q исходной системы. Кроме того, это упрош;ает вычисление матрицы преобразования Т, так как из (3.13) получим T = Q, т.е. B = QB.