3.2.4. Примеры

Рассмотрим некоторые примеры выполнения указанных преобразований.

Пример 1. Летательный аппарат. Обратимся к описанному в п. 1.4.2. с. 41, продольному движению летательного аппарата (1.33) с принятыми выше значениями параметров = -2Л0 [с-1],   = 29.4 [с'^], = 2.18 [c“i], =

60.7 [с ^]. Считая входом системы отклонение рулей высоты, а выходом - угол тангажа, получим следуюш;ие матрицы:

Выполним сначала преобразование к диагональной форме матрицы А. Вычисляя характеристический многочлен, собственные числа Si и собственные векторы ж? (г = 1, 2, 3), получим

Так как имеются мнимые собственные числа, веш;ественная матрица А должна иметь блочно-диагональный вид (2.4), ал-

горитм приведения к которому описан в п. 3.1.2. с. 82. Согласно этому алгоритму, по формуле (3.4) получим векторы /і2 = [0.0525,-0.952,040]^, h = [-0.039,0.247,0.136]^. Вычислим матрицу преобразования

откуда

Найденные матрицы соответствуют разложению передаточной функции ЛА по углу тангажа (1.36) на с. 42 в виде (2.5)

Преобразование к базису УКП приводит к следующим значениям: ®

откуда

Преобразование к виду ПКП получается следующим образом. Матрица Q в (3.13) имеет вид

Матрица А совпадает с приведенной выше матрицей вида УКП, матрица С = [1, О, 0].

MATLAB-программа для преобразования уравнений состояния летательного аппарата к каноническим формам

-    вычисление собственных векторов ж? (функцией eig помещаются в матрицу ѵ) и собственных значений s,- (помещаются в массив г);

-    ’’овеществление” собственных векторов по (3.4);

-    вычисление модальной матрицы Pd и матрицы преобразования Td согласно (3.3);

-    преобразование к блочно-диагональному виду по формулам і = ТАТ~\ В = ТВ, С = СТ-^

-    получение уравнений состояния подсистем разбиением матриц на блоки первого и второго порядков;

-    вычисление передаточных функций Wi(s), W2(s) разложения (2.5).

% - вычисление коэффициентов характеристического многочлена;

-    формирование матриц А, В вида УКП;

-    формирование матриц управляемости Qc,Qc]

-    вычисление матрицы преобразования Т по формуле (3.9);

-    преобразование к виду УКП (интерес представляет матрица Сс, матрицы Ас, Вс вычисляются для контроля);

-    формирование матриц наблюдаемости Qo,Qo]

-    вычисление матрицы преобразования Т по формуле (3.13);

-    преобразование к виду ПКП.

Пример 2. Обращенный маятник на подвижной платформе. Рассмотрим теперь приведенные в п. 1.4.3. на с. 31 линеаризованные уравнения расположенного на тележке перевернутого маятника (1.18). Используем следующие значения параметров [47]: ^ = 1 [с“^], М = 1 [кг], L' = 0.842 [м]. Выходом системы будем считать угол отклонения маятника

от вертикальной оси. Тогда матрица С = —-^,0,-^,0 .

I -L ь .

Снова начнем с рассмотрения перехода к диагональной форме. Собственные значения и собственные векторы матрицы Л в данном примере равны: Si_2 = ±3.41, «з = 0, S4 = —1,

Отсюда

в = [-0.40, -0.74 ,1.4, 2.1]^, а матрица С = [0.33, -0.33, О, — 0.053]. Следовательно, получаем представление передаточной функции системы в виде

Заметим, порядок полученной передаточной функции ниже порядка исходной системы. Это связано в данном случае с наличием нулевого коэффициента матрицы С. Поэтому движения, соответствующие собственному числу S3 = О не будут влиять на выход системы. В этом проявляется отсутствие полной наблюдаемости рассматриваемой системы по данному выходу. Подробно свойства наблюдаемости и управляемости систем будут рассмотрены ниже (в главе 7. с. 166.). Сейчас заметим, что в данном примере физически это связано с тем, что по измерениям угла поворота маятника положение тележки восстановить однозначно нельзя (а лишь с точностью до начального отклонения).

Получим теперь уравнения состояния маятника в форме УКП. Характеристический многочлен системы имеет вид

Матрицы

С = СТ~^ = [О, О,—1.18, 0]. Полученные матрицы соответствуют передаточной функции, которая после сокращения совпадающих нулей и полюсов имеет вид

Как видим, данная система относится к звеньям дифференцирующего типа, а наличие полюса с положительной вещественной частью говорит о ее неустойчивости.

в главе 7. будет показано, что сократимость передаточной функции, отсутствие равенства между степенью ее знаменателя и размерностью пространства состояний свидетельствуют о вырожденности SISO-систем. Для рассматриваемого случая это означает, что данная система не может быть приведена к НКП. Действительно, вычисляя матрицу Q по (3.12), получим

По смыслу данной задачи невозможность приведения уравнений системы к виду НКП объясняется упомянутой выше невозможностью восстановить положение тележки по отклонению маятника.

Пример 3. Транспортная система. Обратимся теперь к приведенным на с. 32 уравнениям (1.19) транспортного средства с матрицами

Как и выше, примем следуюш;ие значения параметров: гпі = 500 кг, Ш2 = 400 кг, кі = 60 кН/м, = 170 кН/м. Покажем приведение уравнений состояния этой системы к формам Жордана и УКП. Получим сначала жорданову форму.

Вычислив собственные числа и собственные векторы матрицы А при заданных параметрах, получим: Si 2 = ±25.8j, S3_4 = ±5.19j,

Следовательно

Отсюда

Поэтому

Нетрудно убедиться, что полученные матрицы (с учетом матрицы D) соответствуют представлению системы в виде параллельно соединенных консервативных звеньев и ’’прямой связи” (через безынерционное звено). Это означает, что матричная передаточная функция системы может быть представлена в виде

Рассмотрим теперь преобразование к виду УКП. Определив коэффициенты характеристического многочлена матрицы А, построим А в виде матрицы Фробениуса

Матрицы управляемости (см. п. 7.) равны

Выполнив преобразование с матрицей

получим матрицу

В Приложении на с. 435 приведена MATLAB-программа ss2df, которая реализует описанный в п. 3.1.2. алгоритм преобразования уравнений состояния к вещественной жордано- вой форме при отсутствии кратных собственных чисел.

В следующей главе мы обратимся к задаче определения уравнений состояния по передаточной функции. Эта задача обратна к рассмотренной в п. 1.5.