3.3. Задачи и упражнения

1. Даны уравнения состояния системы

Выполнить преобразования к вещественной жордановой форме, УКП, НКП. Показать структурные схемы исходной и полученных в результате преобразования систем. Убедиться в инвариантности передаточной функции.

Замечание. Для решения задачи на ЭВМ можно воспользоваться следующей MATLAB-программой:

2.   В литературе рассматриваются следующие канонические формы [1, 174]:

а)   Первая управляемая каноническая форма Луенбергера. Матрица А = Ар, где Ар - матрица Фробениуса (2.10) с. 74, матрица і? = [1, О,.. . , 0] .

б)   Вторая управляемая каноническая форма Луенбергера - управляемое каноническое представление (2.12) (см. п. 2.2. с. 75).

в)   Первая наблюдаемая каноническая форма Луенбергера - наблюдаемое каноническое представление (2.15) (см. п. 2.3. с. 76).

г)   Вторая наблюдаемая каноническая форма Луенбергера. Матрица А = Ар, матрица С* = [О,... , 0,1].

Показать, что матрицы Т преобразования к указанным каноническим формам имеют вид: для п. а) Т = Q~^, где Q - матрица управляемости (3.8), с. 86; для п. б) Т =

 где - последняя строка матрицы управляемости Q (3.8); для п. в) Т = Q, где Q - матрица наблюдаемости (3.12) (т.е. доказать утверждение, содержащееся в замечании на с. 89); для п. г) Т = [s„ s„A ... ] ,

где s„ - последний столбец матрицы S = Q~^, Q - матрица наблюдаемости (3.12).

3.   Иногда уравнения динамики системы содержат производные от входа (т.е., на первый взгляд, не являются реализуемыми) только из-за того, что неудачно введен вектор состояния. Привести уравнения (2.16), с. 78, к диагональному виду.

4.   Получить аналитическое выражение для модальной матрицы Р с. 82 и матрицы преобразования к диагональной форме (3.3) уравнений обращенного маятника (1.18), с. 31.

5.   Привести уравнения состояния системы x{t) = Ax[t) + Biu[t) + B2u{t), y[t) = Cx[t) к стандартному виду (1.45).