4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ НО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Задача определения уравнений состояния по передаточной функции системы есть, по существу, известная в теории дифференциальных уравнений задача приведения линейных уравнений п-го порядка к нормальной форме Коши [12, 66, 79]. Некоторое отличие состоит в том, что в теории управления принято рассматривать уравнения, в которые входят производные не только от выхода, но и от входа системы.

Начнем рассмотрение этой задачи с SISO-систем.

Полагаем, что система задана передаточной функцией

и является строго реализуемой, т.е. г < п. ^

Как было отмечено в 1.8., уравнения состояния по передаточной функции определяются с точностью до произвольного невырожденного преобразования. Поэтому данной передаточной функции соответствует множество различных уравнений состояния и поставленная задача решается неоднозначно. Выбор формы уравнений состояния зависит от того, как они будут использоваться в дальнейшем. Рассмотрим некоторые возможные варианты.

В некоторых приложениях желательно, чтобы значения переменных состояния соответствовали определенным физическим переменным (как в рассмотренных в п. 1.4. примерах). Тогда структура матриц А, В, С, D в (1.45) оказывается заданной и задача состоит в нахождении некоторых их элементов. Эта задача может быть решена на основе обратного перехода от уравнений состояния к передаточной функции методом неопределенных коэффициентов. Далее рассмотрим ситуацию, в которой физический смысл переменных состояния не имеет значения и выбор вида уравнений состояния происходит из других соображений.

Прежде всего, если задана только передаточная функция, естественно искать ее минимальную реализацию, т.е. такую форму уравнений состояния, нри которой заданная передаточная функция получается при наименьшей размерности пространства X (следовательно, - при минимально возможном порядке уравнений (1.45)). Как известно, минимальная реализация соответствует невырожденным (полностью управляемым и полностью наблюдаемым) системам. ^ Для SISO-систем это эквивалентно тому, что по уравнениям состояния получается несократимая передаточная функция, степень знаменателя которой degA(s) совпадает с размерностью вектора состояния. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в числителе и знаменателе заданной передаточной функции отсутствуют явно (структурно) выраженные обш;ие сомножители. Это условие, впрочем, не исключает того, что передаточная функция задана в обш;ем виде и при определенных сочетаниях параметров найденная реализация не будет минимальной.

Птак, считаем, что степень знаменателя передаточной функции задана и равна п. Поскольку характеристический многочлен матрицы А совпадает со знаменателем передаточной функции, ^ а степень характеристического многочлена равна размерности сІітЛ:’ пространства состояний X, то искомые уравнения состояния должы быть п-го порядка: х d X = TZ”.

Теперь можно использовать одну из приведенных выше канонических форм. Прош;е всего получаются уравнения состояния в форме УКП.