4.4. Ж^орданова форма

Если передаточная функция системы имеет кратные полюса, ее разложение будет содержать слагаемые, степени знаменателей которых отвечают значениям кратности. Для вещественных корней кратности к получаются знаменатели к-й

степени, для мнимых корней - степени 2к. Тогда W(s) имеет вид (2.5), (2.9). Исходя из найденных при разложении передаточной функции W(s) слагаемых Wi{s) указанного вида нетрудно записать матрицу А в форме Жордана (2.6), в которой вещественным корням соответствуют диагональные блоки вида (2.7), а мнимым - блоки вида (2.8). Элементы матриц В, С можно получить путем обратных вычислений методом неопределенных коэффициентов.

Например, для вещественных корней Si. = «2^ = • • • = s^. (кратности kj) можно представить Wj{s) в виде

Если выбрать элементы соответствующих строк матрицы В в виде 6і = 62 = ... = 6/; _1 = О, bk- = I, то соответствующие данной клетке элементы матрицы С определяются равенствами Сі = Kj^. Другой возможный выбор - положить сі = 1, а остальные элементы подстроки - равными нулю. Тогда значения Kj^, взятые в обратном порядке, присваиваются элементам Ьі. Явный вид уравнений состояния для вещественных корней характеристического многочлена A(s) приведен в [94].

Замечание 1. Процесс преобразования передаточной функции к блочно-диагональной и жордановой формам существенно более трудоемок, чем преобразования к виду УКП или НКП, так как связан с разложением передаточной функции на слагаемые и, следовательно, с вычислением корней характеристического многочлена.

Замечание 2. Ириведенные процедуры применимы и к реализуемым системам, у которых degB(s) = degA(s). Для их использования надо сначала преобразовать передаточную функцию, выделив в ней целую часть путем деления многочленов

Коэффициент d образует 1х 1-матрицу D в (1.45), а передаточная функция W(s) = [ ^ оказывается строго реализуемой и

A(s)

приводится к уравнениям состояния обычным образом. В результате этого преобразования находятся матрицы А ,В ,С.

Замечание 3. В некоторых задачах удобно получать уравнения состояния не для всей системы (пусть даже разомкнутой), а для отдельных звеньев (подсистем). Например, такая ситуация имеет место, когда система задана в виде структурной схемы. Как правило, переход к уравнениям состояния звеньев оказывается существенно более простым. Для того чтобы получить уравнения состояния всей системы, можно использовать изложенные в п. 1.7. методы определения уравнений состояния для агрегированных систем. Например, при синтезе цифровых фильтров применяется ’’каскадная реализация”, при которой передаточная функция системы представляется в виде произведения передаточных функций первого и второго порядков. Уравнения состояния для этого случая получаются последовательным применением приведенных в 1.7. формул.

Замечание 4. Приведенные выше уравнения рассмотрены для непрерывных систем, однако изложенные в настоящей главе канонические формы и методы получения уравнений состояния по передаточным функциям с очевидным изменением обозначений применимы и к дискретным системам.

В Приложении С. на с. 435, приведены тексты программ приведения уравнений состояния SIMO-систем к виду УКП (программа tf2cf) и MISO-систем к виду НКП (программа tf2of).