4.5. Случай систем с несколькими входами и выходами

Коснемся вопроса определения минимальной реализации для МІМО-систем, имеющих несколько входов и несколько выходов (т > 1, / > 1). Задача получения минимальной реализации уравнений состояния для таких систем существенно сложнее рассмотренной выше, поэтому ограничимся некоторыми примерами. ®

Пример 1. Пусть заданы матричные 2x2 передаточные функции

и

Нетрудно установить, что реализацией минимального порядка Wi(s) будут уравнения состояния:

Этим уравнениям соответствуют матрицы

В свою очередь передаточная функция W2(s) имеет минимальную реализацию вида

которой отвечают матрицы

Как видим, уравнения состояния существенно отличаются: даже размерности векторов состояния у данных систем оказываются различными. Данный пример показывает, что при переходе к уравнениям состояния для МІМО-систем следует учитывать более ’’тонкие” свойства матричных передаточных функций, а характеристический многочлен матрицы получаемых уравнений состояния необязательно совпадает с многочленом A(s), полученным в виде общего кратного знаменателей передаточных функций

Пример 2. [88]. Пусть задана матричная передаточная функция

Вычисляя матричные вычеты в полюсах Si = — g, S2 = — g, получим разложение

Размерность пространства состояний минимальной реализации определяется, как сумма рангов матриц Мі и М2. В данном примере

следовательно п = сИтД' = 3. Матрицу А записываем в диагональной форме:

Далее определяем элементы Зх2-матрицы В и 2хЗ-матрицы С так, чтобы получить заданные числители W(s). Нетрудно убедиться, что указанному условию удовлетворяют матрицы

Рассмотренный в Примере 2 метод рекомендуется для систем, передаточные функции которых имеют только вещественные простые полюса [88]. В общем случае алгоритмы преобразования к уравнениям состояния сложнее (см., например, [1], а также Приложение 2 в [106]) и здесь не рассматриваются.