5.1. Определения и основные свойства фазовых траекторий и фазовых портретов

При построении фазовых траекторий каждому решению ставится в соответствие движение точки по некоторой кривой в пространстве состояний (фазовом пространстве). Это дает возможность получить геометрическую, а точнее - кинематическую [12, 15, 79], интерпретацию поведения системы.

При заданном начальном состоянии Xq получим решение x{t) уравнения (5.1). В функции от ^ в процессе своего движения точка X описывает некоторую кривую в пространстве состояний X. Эта кривая называется фазовой траекторией , или фазовой кривой системы (5.1), соответствующей заданным начальным условиям. Поскольку представляет интерес развитие процесса во времени, на фазовой траектории указывается (стрелкой) направление движения изображающей точки при возрастании времени t.

Фазовым портретом системы называется совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях.

Рассмотрим основные свойства фазовых траекторий и фазовых портретов систем указанного класса. Эти свойства следуют из общих характеристик решений дифференциальных уравнений [12, 79].

Для систем вида (5.1) выполнены условия стандартных теорем существования и единственности решения. Кроме то-

го, они выполнены и для уравнений в ’’обратном” времени г = —t. Эти уравнения имеют вид dx/dr = —Ах(т). Отсюда следует, что решения уравнения (5.1) определены в области t G ( — 00, 00). Свойство стационарности системы приводит к тому, что при построении фазовых траекторий начальный момент не существен - траектории, проходящие через некоторую точку Xq в различные моменты времени    представляют собой одну траекторию.

Поэтому:

•    Через каждую точку пространства состояний проходит некоторая фазовая траектория. Следовательно, фазовый портрет системы может быть заполнен фазовыми траекториями сколь угодно плотно.

•    Никакая фазовая траектория не имеет точек разветвления, т.е. она не может распадаться на другие траектории.

•    Никакие различные траектории не могут иметь точек пересечения. Это свойство следует из единственности решения уравнений в обратном времени. Поэтому для систем указанного вида текущее состояние однозначно определяет как будущее, так и прошлое развитие процесса.

Таким образом, различные фазовые траектории не могут пересекаться. Если у них есть хотя бы одна общая точка, то такие траектории представляют собой участки некоторой одной ’’более полной” траектории, построенной для более протяженного временного интервала. ^ Коротко говоря, траектории либо не пересекаются, либо совпадают (с точностью до продолжения), или, другими словами, через каждую точку фазового пространства проходит одна и только одна фазовая кривая.

•    Самопересекающиеся траектории соответствуют либо положениям (состояниям) равновесия системы, и тогда они вырождаются в точку, либо периодическим движениям. В первом случае выполнено, что для всех t ETZ : x[t) = х*, где ж* G Л’ не зависит от t. Во втором случае существует некоторое значение Т > О, называемое периодом такое, что при произвольном t имеют место равенства x{t) = x{t + T), но при

1^1 ~ ^21 < Т ХОТЯ бы для одной компоненты Xi{t) выполнено Xi{ti) Ф Хі{І2).

Фазовая траектория периодического процесса представляет собой замкнутую кривую, называемую замкнутой траекторией, орбитой или циклом. Само решение x{t) называется периодическим с периодом Т.