5.2.2. Состояния равновесия системы

В пространстве состояний системы могут быть особые точки, в которых вектор фазовой скорости обращается в ноль, ѵ[х) = 0. Это условие эквивалентно тому, что данные точки представляют собой состояния [положения) равновесия системы [12, 79]. Таким образом, если для некоторой Xq выполнено v{xq) = о, то имеется решение x{t) = Xq. Справедливо и обратное утверждение - каждому решению x{t) = Хд соответствует нулевой вектор фазовой скорости в точке Xq. Как отмечено выше, фазовые траектории в состояниях равновесия вырождаются в точки, а векторы фазовой скорости ’’никуда не направлены” (в этом смысле такие точки ’’особые”).

Рассмотрим состояния равновесия системы (5.1). Из изложенного ясно, что множество = {жо} состояний равновесия

этой системы определяется липейпым уравпепием

где А - пхп-матрица, Xq - п-мерпый вектор. Как известно из линейной алгебры [53, 66, 115], уравнение (5.2) имеет единственное тривиальное решение жо = О в том и только том случае, когда матрица А невырожденная: сІеіЛ / 0. Рассмотрим, что это означает с точки зрения свойств динамической системы. Поскольку характеристический многочлен A(s), т.е. знаменатель передаточной функции системы выражается равенством A(s) = det(sl„ — А), находим, что А(0) = а„ = ( —l)"detyl. Значит, свободный член характеристического многочлена с точностью до знака совпадает с определителем матрицы А. Если он не равен нулю, то у системы (5.1) будет единственное нулевое состояние равновесия. Условие а„ = О выполняется для звеньев интегрируюш;его типа. Именно для них возможны ненулевые состояния равновесия. Рассмотрим это подробнее.

Так как для всех Хд G имеет место равенство Лжо = О, то является нуль-пространством ^матрицы А , = М{А). Как известно, [53, 115], пространство М{А) является линейным подпространством пространства X. Размерность пространства М{А) равна разности между размерностью пространства X и рангом матрицы А : dimA/”(yl) = п — гапкЛ. Таким образом, в зависимости от матрицы А (точнее, от ее ранга) состояния равновесия линейной системы являются либо точкой {0}, либо прямой, содержаш;ей эту точку, либо плоскостью, проходяш;ей через начало координат, либо линейным подпространством более высокой размерности.