5.2.3. Декомпозиция пространства состояний

Выше, в п. 3.1.2. использовалось понятие инвариантных подпространств. Рассмотрим его более подробно.

Напомним следуюш;ие положения [53, 115].

Определение. Пространство X является прямой суммой своих подпространств Хі, Х2 , ■ ■ ■ , Л’т (иногда записывают Л:’ = Хі ® Х2 ® ® Л’т), если :

•    для всякого X а X существует разложение х = Хі + Х2 +     Хга, те Хі е Хі, , Хга е Л’т-

•    ЭТО разложение единственно, (данное условие можно записать в эквивалентной более простой форме, а именно: если X = Хі + Х2 + ■ ■ ■ + Хт = 0, где Хі £ Хі, ... , Xi £ Х^, то

Xi = Х2 = ■■■ = Хт = 0).     □

Из единственности разложения следует, что всякие подпространства Хі,...,Хт имеют общим лишь один элемент {0}.

Если матрица А имеет в пространстве X инвариантные подпространства Хі, ... , Xjn, т.е. для всех х G Хі выполнено Ах £ Хі, г = 1, 2,.. . , m, и если пространство X можно представить в виде прямой суммы инвариантных подпространств, то невырожденным преобразованием матрица может быть приведена к блочно-диагональному виду. Справедливо и обратное утверждение: если матрица имеет квазидиагональную (блочно-диагональную) структуру, то пространство X разлагается на прямую сумму инвариантных (по отношению к данной матрице) подпространств.

Если аннулирующий многочлен /(s) (см. 3.2.) матрицы А разложить в произведение двух взаимно-простых множителей: /(s) = /i(s)/2(s), то пространство X можно разложить в прямую сумму двух подпространств X = Хі ® Х2, инвариантных относительно матрицы А.

Если некоторый аннулирующий многочлен /(s) матрицы А

т

представить в виде f(s) = ]^ (s — Sj)’’’, где s,- - все (различные)

г = 1

корни многочлена, а г,- - их кратности, то пространство X разлагается на прямую сумму m подпространств Хі,, Х„і, инвариантных относительно матрицы А, причем эти подпространства являются нуль-пространствами матрицы (s,I —Л)’’’.

Наконец, если аннулирующий многочлен /(s) матрицы А представить в виде

где S,' - все различные вещественные корни многочлена, а Sjj+i = ctj    - различные невещественные корни, то про

странство X разлагается на прямую сумму инвариантных

подпространств

Такому разбиению пространства состояний системы соответствует приведение матрицы А к канонической форме Жордана (2.1.З.).

Исходя из изложенного, пространство состояний X системы можно представить в виде прямой суммы L инвариантных подпространств Xf', т.е. каждый вектор х d X записать в виде линейной комбинации х =   где ж,- G Х/^, г = 1, 2,, L

([3, 53]). Рассмотрим связь этого разбиения с фазовыми портретами системы, обращая основное внимание на случай простых собственных чисел.

Если матрица А имеет попарно различные корни характеристического многочлена, то нетривиальными вещественными инвариантными подпространствами наименьшей размерности будут собственные прямые (для вещественных корней) и собственные плоскости (для мнимых комплексно-сопряженных корней характеристического многочлена). Пусть начальное состояние системы принадлежит собственной прямой (Ji, соответствующей (простому) вещественному корню Si, т.е. Хд = а^Хі, где Е TZ - некоторое число, а ж? - собственный вектор, отвечающий собственному значению s,-. Для вектора фазовой скорости в этой точке можно записать ѵ{хо) = Axq = a^SiX^. Поэтому вектор фазовой скорости будет направлен по этой же прямой. ^ и собственные прямые системы соответствуют некоторым фазовым траекториям. Следовательно, вся фазовая траектория остается на прямой Оі ® При указанных начальных условиях нетрудно получить и формулу для процесса x{t). Действительно, так как выполнено (5.1), то x{t) = Six{t), ж(0) = a'-x'i. Отсюда получаем решение x{t) = е'’’‘ж(0). Это выражение можно записать и в следующем виде. Введем функцию ai{t) G TZ как решение уравнения

ai{t) = Siai{t), аДО) = . Тогда x{t) = ai{t)x^. Очевидно, что ai{t) =     Таким образом, изображающая точка будет

двигаться вдоль прямой Оі с коэффициентом ai{t). Направление движения определяется знаком s,- : при s,- < О движение будет направлено к состоянию равновесия {0}, при s,- > О - от точки {0}, а при s,- = О - x{t) = Xq, и каждая точка прямой является состоянием равновесия. ®

Обобщая приведенные рассуждения, примем, что система обладает к простыми вещественными корнями. Как отмечено выше, им отвечает к линейно независимых собственных векторов и, соответственно, к собственных прямых [3, 53, 115]. Из линейности системы следует, что движение при произвольных начальных условиях можно представить, как суперпозицию движений по собственным направлениям. Более подробно: если начальное состояние ж(0) принадлежит инвариантному подпространству, порожденному собственными векторами ^2, ... , х^, то это состояние можно разложить по базису, состоящему из собственных векторов: ж(0) = аіХ°. Тогда решение x{t) имеет вид: x{t) = ai{t)x^, где ai{t) =

Если имеются простые мнимые комплексно-сопряженные корни характеристического многочлена, то они не определяют никакого собственного направления в вещественном пространстве. Однако с помощью изложенного в п. 3.1.2. приема таким корням можно поставить в соответствие собственную плоскость, которая также является инвариантным подпространством матрицы А. Рассуждая аналогично предыдущему случаю приходим к выводу, что траектория, начинающаяся на собственной плоскости будет ей всегда принадлежать.

Окончательно можно сделать вывод, что при отсутствии кратных корней характеристического многочлена фазовую траекторию можно получить суперпозицией движений по собственным прямым и собственным плоскостям.

Случай кратных корней более сложен, так как при нем возможны ситуации, в которых нельзя разложить пространство на сумму инвариантных подпространств размерности не более двух.

В следующем параграфе вид фазовых траекторий на плос-

кости будет рассмотрен более подробно.