5.3. Виды фазовых портретов для систем второго порядка

Рассмотрим линейные системы второго порядка, X = TZ"^. Их состояние можно изобразить в виде точки на плоскости

Рассмотрим некоторые случаи.

Пусть собственные числа Si, 82 матрицы А действительны и отличны от нуля. Si / «2- Тогда имеются единственное состояние равновесия в точке {0} и две несовпадающие собственные прямые (/I, (/2- Если s,- < О, то движение изображающей точки по прямой (/і направлено к состоянию равновесия, если S,' > О - от этого состояния. При s,- = О изображающая точка на прямой неподвижна. Отметим также, что точка, расположенная между некоторыми лучами собственных прямых, в процессе движения всегда остается между ними, так как по этим лучам проходят фазовые траектории, а различные фазовые траектории пересекаться не могут.

Более детальное описание фазового портрета системы зависит от знаков «1,52 •

1.   Устойчивый узел. Если Si < О, S2 < О, все фазовые траектории направлены к состоянию равновесия - точке {0}

- и асимптотически к нему приближаются (см. рис. 5.2, а). Система асимптотически устойчива. Такой фазовый портрет свойственен собственным движениям апериодического звена второго порядка, имеющего передаточную функцию

2.   Неустойчивый узел. Если Si > О, S2 > О, то картина фазовых траекторий тоже имеет вид узла, но направление движения меняется на противоположное. Такой тип

поведения свойственен неустойчивым системам. Пример - собственные движения звена с передаточной функцией

3.   Седло. Если знаки собственных чисел противоположны между собой, например, Si > О, «2 < О, то по прямой Qi движение происходит от состояния равновесия, а по прямой ^/2 - к этому состоянию (см. рис. 5.2, б). Несмотря на то, что здесь имеются траектории, направленные к началу координат и соответствующие затухающим процессам, седло свойственно неустойчивым системам. Пример - звено с передаточной функцией

4.   Один из корней имеет нулевое значение. Пусть, например, Si = О, S2 ф 0. Тогда прямая Оі образует множество состояний равновесия системы и движения по ней не происходит. Фазовый портрет состоит из прямых, параллельных Оі. Если S2 < О, то движение по траекториям направлено в сторону прямой С/і, иначе - в противоположную сторону. Такие

процессы свойствеппы устойчивому и неустойчивому интегрирующим звеньям с передаточными функциями

и

соответственно [Ті >0, Т2 > 0).

5.   Оба корня равны нулю. Данный случай отвечает наличию у системы кратных собственных чисел, и вид фазового портрета зависит от размера жордановых клеток. Если жорданова форма матрицы А представлена двумя клетками первого порядка (т.е. матрица Жордана нулевая), то фазовые траектории представляют собой точки на плоскости и каждое состояние системы есть состояние равновесия. Примером такой системы являются два независимых между собой идеальных интегрирующих звена. Если жорданова клетка имеет размер два, то фазовые траектории представляют собой множество прямых, параллельных собственной прямой. По этой прямой движения не происходит (она образует множество состояний равновесия), а по разные стороны от нее изображающие точки движутся в противоположных направлениях. Такой характер фазовых траекторий свойствен

двойному интегрирующему звену W(s) = —. Заметим, что

если в первом случае система нейтрально-устойчива, то во втором - неустойчива.

6.   Кратные ненулевые вещественные корни. Если у системы имеются кратные ненулевые вещественные собственные числа Si = S2, то также возможны два существенно различных случая. Если каноническая жорданова форма матрицы состоит из двух клеток порядка один, то общее решение уравнения (5.1) имеет вид x{t) = и описывает совокупность лучей, выходящих из начала координат. При Si = S2 < О движение происходит в направлении к началу координат, а при si = S2 > О - в противоположную сторону. Примером системы с таким типом фазовых траекторий является система, состоящая из двух независимых апериодических звеньев с равными постоянными времени.

Если каноническая жорданова форма матрицы состоит из одной клетки порядка два, то имеется одна собственная прямая, на которой лежат фазовые траектории при соответствующих начальных условиях и множество кривых, заполняю-

щие полуплоскости, разделеппые данной прямой (рис. 5.2, в). Такой вид фазового портрета в окрестности состояния равновесия называется устойчивым вырожденным узлом - при Si = S2 < О и неустойчивым вырожденным узлом - при Si = S2 > 0. Этот фазовых траекторий характерен для последовательно соединенных апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени, т.е. системе с передаточной функцией

или

Рассмотрим теперь систему с мнимыми комплексно-сопряженными собственными числами Si 2 = а :iz ]ІЗ, /3 > 0. В этом случае также имеется единственное состояние равновесия в точке {0}. Вид фазовых портретов зависит от значения а.

7.   Фокус. При а ф О получаем систему кривых, имеющих вид афинно-искаженных логарифмических спиралей. При а < О движение происходит к состоянию равновесия {устойчивый фокус), а при а > О - от этого состояния {неустойчивый фокус) (см. рис. 5.2, в).

Устойчивый фокус свойственен колебательным звеньям с передаточной функцией

а неустойчивый - звеньям

(с теми же диапазонами значений параметров).

8.   Центр. При а = О получаем систему замкнутых эллиптических траекторий с центром в начале координат. Этим траекториям соответствуют периодические процессы с периодом 2тг//3 - незатухающие гармонические колебания. Примером может служить консервативное звено с передаточной

функцией

Обратимся теперь к характерным особенностям фазовых портретов на плоскости при каноническом представлении уравнений состояния. Рассмотрим диагональную (вещественную жорданову) форму (см. 2.1.) и каноническую форму фазовой переменной (см. 2.2.), как наиболее распространенные.