5.3.1.       Фазовые портреты при диагональной (жордановой) форме матрицы А

В том случае, когда матрица А представлена в собственном базисе, построение фазовых портретов несколько упрощается. Например, можно получить достаточно простые формулы для фазовых кривых. Рассмотрим отдельно случаи вещественных и мнимых собственных чисел.

1. Вещественные различные корни. Узел и седло.Ъъіше, в п. 5.3. рассмотрены характерные виды фазовых портретов, в том числе - и при Si, «2 G «І / О, S2 / О, Si Ф 82- Уточним вид фазовых кривых при диагональной матрице А = diagjsi, S2} для этого случая. Как отмечено выше (см.

3.1.1.),  при вещественных различных корнях характеристического многочлена матрицы ее собственные векторы направлены вдоль ортогональных координатных осей. Примем, что Xq = еі = [1, 0] , Xq = &2 = [о, 1] . Уравнения состояния (5.1) тогда принимают вид

Исключая из (5.3) время (это можно сделать, формально ’’поделив” второе уравнение на первое с учетом Si /0), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Иринимая в качестве аргумента Хі, получим выражение для Х2 :

ІПІЖ2І = —ІпІЖіІ -\-Сі, откуда окончательно получаем выраже- Sl

пне

Выражение (5.4) описывает линии, на которых расположены фазовые кривые в указанных случаях. Заметим, что при совпадающих знаках собственных чисел эти кривые имеют вид ’’парабол”, а при разных знаках - ’’гипербол”. Первый вид фазового портрета соответствует узлу (устойчивому или неустойчивому), а второй - седлу.

Значение константы С в (5.4) определяется из начальных

условий с = |ж2_о| • кі,о| • При построении фазового портрета эту связь можно не рассматривать, а использовать набор различных значений С.

Выражение (5.4) применимо также, если один из корней (для определенности - S2) обращается в ноль. Тогда (5.4) описывает множество параллельных оси абсцисс прямых. Движение по этим прямым направлено либо к оси ординат (si < 0), либо от нее. По выражению (5.4) можно найти вид траекторий при кратных корнях, если А = diagjsi, Si}. Получается ’’пучок” прямых, проходящих через начало координат. Ось ординат представляет множество состояний равновесия.

Для вещественной жордановой клетки Л= ^ вид траекторий более сложный [79] и формула (5.4) не применима.

2.   Нулевые кратные корни. Представляет интерес второй из рассмотренных в пункте 5 п. 5.3. случаев двойного интегрирующего звена, уравнения которого в жордановой фор-

4 [О 1] V

ме имеют матрицу А = q q • Уравнения состояния тогда принимают вид

Отсюда получаем решения Xi(t) = Xi q + X2flt, X2{t) = Ж2_о- Фазовые траектории - прямые, параллельные оси абсцисс, но движение по ним направлено ’’вправо” при Ж2_о > О и ’’влево” при X2fl > 0. Точки на оси абсцисс служат состояниями равновесия системы.

3.   Мнимые корни. Фокус и центр. Пусть теперь характеристический многочлен имеет корни S12 = а ± j/3, причем /3 > 0. Соответствующая вещественная жорданова форма ма. \ а /31

трицы А = , а уравнения состояния -

—р ct

При Of = О после исключения t и несложных преобразований получаем уравнение концентрических окружностей с центром в начале координат хі + хі = С, С* > О ( центр). При выбранном знаке /3 (/3 > 0) движение изображающей точки будет происходить по часовой стрелке. В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, вектор фазовой скорости при Хі >0, Х2 = 0.

При а ф О вид фазовых траекторий усложняется. Они представляют собой логарифмические спирали, уравнения которых удобнее записывать в полярных координатах. Введем /О > О - расстояние от начала координат до точки на кривой, р = \х\, Lp - угол между этой точкой и осью абсцисс. Тогда можно получить уравнения [79]

описывающие движение изображающей точки в параметрической форме. Исключив параметр t (например, выразив его из второго уравнения), получим явную связь между полярными координатами. При а < О все точки будут двигаться по траекториям к началу координат (устойчивый фокус), а при а > О - ’’разбегаться” от него ( неустойчивый фокус).

Обратимся теперь к другой форме - канонической форме фазовой переменной.