5.3.2. Фазовые портреты при канонической форме фазовой переменной

Эта форма уравнений состояния соответствует представлениям УКП и НКП (которые для автономных систем дают одинаковые уравнения состояния). Матрица А в данном базисе имеет вид матрицы Фробениуса (2.10). Для систем второго

4 [ О 1 1 Л.

порядка это означает, что А =     , где Яі, Я2 - коэф-

— С?2 —Сіі

фициенты характеристического многочлена A(s) =s^-bais-ba2- Такой матрице отвечают уравнения состояния

Перечислим некоторые особенности фазовых траекторий в указанном базисе.

•    Поскольку неременная X2{t) совпадает с производной по времени от     изображающая точка будет двигаться только ”по часовой стрелке”, т.е. в сторону возрастания Хі в верхней полуплоскости (где Ж2 > 0) и в сторону убывания Хі в нижней полуплоскости (где Ж2 < 0).

•    Фазовые кривые, пересекающие ось абсцисс (ось Жі), имеют в точках пересечения перпендикулярные к ней касательные.

•    Состояния равновесия системы могут располагаться только на оси абсцисс.

•    Точкам пересечения фазовой траекторией оси абсцисс соответствуют экстремумы переходного процесса Xi{t).

Рассмотрим более подробно случай простых вещественных собственных чисел. Пусть Si ф S2, Si,S2 G Как отмечено выше, при вещественных корнях характеристического многочлена имеются собственные векторы х\ = col{l,Si},

^2 = col{l,S2}, линейно независимые при Si ф S2- Соответствующие им собственные прямые лежат в первом и третьем квадрантах (s,- > О - процесс расходится) или во втором и четвертом квадрантах (s,- < О - решение вдоль прямой затухает). Соответственно, получаем устойчивый или неустойчивый узел, или седло. Па рис. 5.3 показаны фазовые портреты и переходные процессы типа ”седло” (а), Si = 1,S2 = —3 и ”устойчивый фокус” (б). Si 2 = а іЬ J/3, а = —0.2,/3 = 1, для системы (5.8). Одинаковыми буквами отмечены соответствующие точки на фазовой плоскости и на графике переходного процесса.

Для выполнения вычислений п. б) использована следующая программа моделирования линейной системы:

-    задание параметров системы;

-    формирование матрицы А;

-    задание начальных условий;

-    задание времени и шага моделирования;

-    задание нулевого входного воздействия;

-    моделирование системы;

-    вывод фазового портрета;

-    вывод переходного процесса.

В программе использована описанная в Приложении 3 процедура моделирования линейных непрерывных систем Isim.

В данном базисе по виду фазовой траектории можно получить и дополнительную информацию о скорости протекания процесса. Папример, время движения точки по отрезку параллельной оси абсцисс прямой равно отношению длины этого отрезка (в соответствуюш;ем масштабе) к значению ординаты Х2- Далее, если рассматриваются две кривые на участках с одинаковыми абсциссами, то время движения меньше по той из них, которая наиболее удалена от оси абсцисс.

Данные рассуждения, вместе с приведенными в п. 5.3. по-

зволяют получить достаточно наглядное представление о фазовых портретах в указанном базисе, но для точного построения траекторий их недостаточно. Здесь может оказаться удобным следующий метод. Вычисляется матрица преобразования Т уравнений состояния к канонической жордановой форме, для которой строится фазовый портрет (как указано в 5.З.1.). Затем точки на полученных траекториях обратным преобразованием с матрицей Т~^ переводятся на исходную плоскость. Заметим, что данный метод можно использовать для построения фазовых портретов в любом базисе, а не только в базисе канонической формы фазовой переменной.

Достаточно просто можно представить вид фазовых траекторий и для систем третьего порядка. При простых корнях характеристического многочлена имеются или три собственные прямые, определяемые векторами х^, Жд, либо собственная прямая и плоскость, порожденная векторами hi, /і2 (как описано в 4.3.). Движение точки в пространстве получается как суперпозиция движений по указанным подпространствам. Более детальные сведения по этому вопросу приведены в [12].