6.1.  Решение уравнений состояния. Формула Коши

Рассмотрим линейную систему, заданную уравнением состояния

где x{t)  u{t) ETZ™. Нас интересует решение задачи Коши

- т.е. определение функции x[t) по заданному начальному состоянию Xq при известном входном процессе u[t). ^ Рассмотрим вначале решение однородного уравнения.

6.1.1.    Решение однородного уравнения Рассмотрим уравнение

x{t) G    Пусть нам известно п решений (6.2) относитель

но некоторого момента Iq : жД^о) = і = 1,2,... ,п . Объединим эти решения Xi{t) в пхп-матричную функцию X{t) =

[xi{t): X2{t): ... : x„{t)]. Пз теории дифференциальных уравнений известен следуюш;ий результат [12, 79, 97] {” альтернатива Вронского”): либо определитель Вронского W{t) =det Х(^)=0 (для всех t), либо\Ѵ(^)/0 (ни при каком ^). Поэтому если векторы XQ^i, линейно независимы, то матрица Х(^) будет невырожденной при всех t. Полученная таким образом матрица X{t) называется фундаментальной матрицей системы (6.2). Это название связано с тем, что вектор-функции Xi{t) образуют фундаментальную систему решений данного уравнения: решение задачи Коши при произвольных начальных условиях Xq может быть выражено в виде линейной комбинации функций Xi[t) : x{t) =     aiXi{t), где а,- есть коэффициенты разложения начального вектора Xq по системе базисных векторов XQ^i, ( Т.е. Xq = '^'■-іС^іХо^і)- с использованием фундаментальной матрицы X{t) это факт можно записать в векторной

форме: x{t) = X{t)C, где вектор С =   а„]^ определяется

из уравпепия Xq = XqC. Заметим, что матрица-функция X{t) удовлетворяет уравнению

Теперь введем матрицу Ф(^,^о) = Х(і)Х^^, называемую переходной, или импульсной, матрицей. Очевидно, что Ф(^о,^о) = І„ - единичная матрица. Фактически Ф(^,^о) есть фундаментальная матрица, полученная, если в качестве начальных векторов Хо^і использовать единичные векторы

Таким образом, для переходной матрицы выполнено уравнение

С учетом того что решение однородного уравнения определяется через фундаментальную матрицу и что коэффициенты разложения Xq по системе единичных векторов совпадают с компонентами вектора Xq, получим решение однородного уравнения (6.2) через переходную матрицу в виде

Чтобы воспользоваться полученным выражением, следует располагать способом вычисления переходной матрицы. К сожалению, в обш;ем случае нет аналитического выражения для определения Ф(^,^о)- В некоторых практических задачах можно решить (6.3) численно, а затем использовать (6.4) при различных начальных условиях. Однако такой способ связан с хранением больших объемов данных и имеет ограниченное применение. В некоторых случаях целесообразно выражать решение в виде рядов [25]. Суш;ественное упрош;ение получается в стационарном случае, т.е. при постоянной матрице A{t) = А. Для таких систем матрица Ф(^,^о) зависит только от одного аргумента т = t — tg и совпадает с матричной экспонентой  т = t — to, определяемой в виде ряда

Таким образом, для стационарных однородных линейных систем решение задачи Коши определяется формулой

Заметим, что поведение таких систем не зависит от начального момента времени to (а только от временного промежутка г = t — to), поэтому в стационарном случае удобно считать to = О и выражение (6.6) записывать в виде

Вычисление матричной экспоненты является значительно более простой задачей, чем нахождение переходной матрицы в обш;ем случае. Так, для диагональной матрицы А = diagjsi, S2,... , s„} матрица также диагональная и состоит из скалярных экспонент: = diagje'’^*, , e"*"*}. Достаточно простой вид матричная экспонента имеет и для более обш;ей, жордановой, формы матрицы А. Некоторые аспекты вычисления матричной экспоненты в обш;ем случае будут рассмотрены ниже (в 6.5.), а сейчас обратимся к решению неоднородного уравнения (6.1).