6.1.3. Свойства переходной матрицы

Приведем перечень основных свойств переходной матрицы.

1.   Для всех to выполнено Ф(^о,^о) = In-

2.   Правило композиции: для всех to, ti, t выполнено

3.   с1еіФ(^,^о) / О для всех to, t.

4.   Ф(^,^о) = X{t)X{to)~^, где X{t) - любая фундаментальная матрица.

5.   Ф(^,^о)“^ = Ф(^о,0 ДЛЯ всех to, t.

6.   Справедливо уравнение

7.   Матрица Ф(^о,^)^ удовлетворяет следуюш;ему сопряженному уравнению

Данное свойство полезно при исследовании нестационарных систем, так как дает способ получения ’’сечений” переходной матрицы по аргументу to-

8.   Если detT / О, то Ф(^,^о) = T~^{t,to)T, где Ф(^,^о) удовлетворяет уравнению (6.3), в котором вместо матрицы A[t) подставлена подобная ей матрица A[t) = ТA[t)T~^. В частности, это справедливо и для матричной экспоненты

9.   В стационарном случае

Рассмотрим теперь некоторые следствия из формулы Коши.

6.2. Вычисление функции веса

Весовая (импульсная) функция w[t) обычно определяется, как реакция системы на 5-образпое входное воздействие при нулевых начальных условиях [15, 66, 76, 95]. Эта функция имеет много разных применений при исследовании систем автоматического управления (САУ), и задача ее получения, например - численными методами, является актуальной. Очевидная трудность состоит в том, что (5-функция Дирака не может быть реализована на аналоговых или цифровых моделирую- ш;их установках. Рассмотрим решение этой задачи без введения (5-функций во входное воздействие.

Предварительно сделаем следуюш;ее замечание. Выходной процесс системы y{t), и тем более его производные

могут иметь разрывы при разрывном входном воздействии u[t). Поэтому при определении w[t) указываются начальные условия до момента приложения входного воздействия, т.е.

принимается, что u[t) =0 при

і = 0,...,п — 1. Что касается состояния системы x[t), то, как следует из формулы (6.9), оно изменяется непрерывно, если u[t) не содержит разрывов второго рода. Действительно, тогда интеграл в правой части (6.9) обраш;ается в нуль при равенстве верхнего и нижнего пределов интегрирования. Поэтому в интересуюш;ем нас случае ж(0) = ж(0_). При определении w[t) полагаем жо = 0. Поскольку входное воздействие u[t) = 5[t) имеет разрыв второго рода, значение ж(0_|_) = 1іт<^о x[t) будет отличаться от Xq. Чтобы определить ж(0_|_), используем основное свойство (5-функций: для

любой непрерывной при ^ = О функции /(^) и ^ > О выполнено /{т)6{т)сІт = /(0). Используя это свойство в формуле (6.9) при u{t) = S{t), Xq = о, получим x{t) = е^*В. Теперь из уравпепия выхода y{t) = Cx[t) получим искомую весовую функцию в виде w[t) = Се^*В. Для несобственных систем w{t) = Ce^*B + DS{t). 2

Заметим теперь, что полученное выражение для x{t) совпадает с собственным движением системы при начальном состоянии Xq = В. Значит, для вычисления весовой функции можно решить однородное уравнение x{t) = Ax{t) при начальном условии Хо = В ш вычислить w{t) = Cx[t)] иначе говоря, следует промоделировать исходную систему при нулевом входном воздействии и ненулевом начальном состоянии. Такой способ определения функции веса соответствует принятому в работах по теории дифференциальных уравнений подходу, согласно которому эта функция определяется как решение однородного уравнения при соответствуюш;их начальных условиях, а вид реакции системы на 5-фупкцию выводится в качестве следствия.