1.1.  Динамические и статические системы. Понятие состояния динамических систем

Любая система, в том числе и система управления, состоит из совокупности подсистем (звеньев). Звенья могут различаться по характеру реакций на входное воздействие. С этой точки зрения все звенья могут быть разделены на статические (безынерционные) и динамические (инерционные) . Рассмотрим отличительные особенности в поведении и математическом описании систем одного и другого типов.

Статические системы ^ обладают мгновенной реакцией на входное воздействие. Более существенным свойством таких систем является то, что их реакция на входное воздействие не зависит от предыстории, от поведения системы в прошлом, а также от предыдущих значений входа.

Математически это можно описать следующим образом.

Обозначим через u(t), y(t) вход и выход системы в момент t. У статической системы для каждого t выход y(t) можно определить однозначно по значению u(t) в тот же момент времени. Для этой цели служит статическая характеристика у = f(u) или у = f(u,t) (для нестационарных систем). В соответствии с ней получаем y(t) = f(u(t)). Никакой другой дополнительной информации не требуется. ^

Иначе обстоит дело с динамическими системами. Их особенностью является то, что для определения y(t) недостаточно информации об u(t) в тот же момент времени. Выходной сигнал зависит также от предыстории изменения входа и, кроме того, совокупности некоторых величин, называемых начальным состоянием системы. Рассмотрим понятие состояния более подробно.

Понятие состояния системы (звена) является одним из базовых понятий теории динамических систем, поэтому оно

определяется пе через другие понятия, а аксиоматически - перечислением совокупности присущих ему свойств [44, 46]. Рассмотрим некоторые из них.

Как отмечено выше, выход динамической системы определяется однозначно, если заданы предыстория изменения входного процесса на некотором промежутке и, кроме того, некоторая совокупность величин, относящаяся к началу данного промежутка - начальное состояние системы. Символически это будем записывать так: ^

Таким образом, состояние системы - это некоторый параметр, позволяющий сделать однозначным определение ее выхода по входу.

Различные начальные состояния приводят, вообще говоря, к различной реакции на одно и то же входное воздействие. В приведенном выше уравнении S - некоторый оператор, преобразующий одну функцию в другую.

Состояние системы должно удовлетворять четырем аксиомам (условиям) совместности [Ы]. Рассмотрим две наиболее важные из них.

Аксиома 1. Выход y{t) для всех t > to определяется однозначно, если заданы x{to) и u^to,ti] (см. рис. 1.1, а).

Таким образом, состояние системы в данный момент времени содержит всю память о прошлом, существенную для развития процесса в будущем. Если фиксировать начальное состояние, то будущее от прошлого не зависит; все, что нужно знать от прошлого для определения процесса в будущем, содержится в состоянии на данный момент времени. Таким образом, для определения будущего поведения системы не имеет значения то, как она пришла в данное состояние, - по начальному состоянию и входу процесс определяется однозначно.

Аксиома 2. Если траекторию системы разбить на ряд участков, то можно рассматривать движение на каждом из них как новую траекторию при соответствующем начальном состоянии (см. рис. 1.1, б).

Пусть     Тогда у(^з) = 5(ж(^о); «[to.tj])- С другой

стороны, при любых х{іо),    можно определить состояние

ж(^і) таким образом, что ^(^2) = ‘5(ж(^і); U[ti,t2])-

Из этой аксиомы следует, что состояние динамической системы должно изменяться во времени соответствующим образом (в зависимости от входного процесса и начального состояния).

д

Определение. Множество X = {ж} возможных значений состояния системы называется пространством состояний [данной системы). ^ □

Часто можно рассматривать в качестве пространства состояний п-мерное линейное вещественное пространство, Л = 7?.". Тогда состояние x(t) есть п-мерный вещественный вектор - вектор состояния^ или фазовый вектор. Компоненты этого вектора обычно будем обозначать через Xi[t), т.е. писать

Для краткости будем также использовать запись

Такая запись в общем случае означает, что х есть вектор- столбец, составленный из расположенных в столбец компонент векторов Хі, і = 1,2,... ,п . Иногда, как будет видно из контекста, индекс используется для обозначения различных одноименных векторов.

Заметим, что такой вид пространства состояний не исчерпывает всех возможных ситуаций. Например, пространство состояний конечных автоматов состоит из конечного числа точек. С другой стороны, для многих систем нельзя указать конечное значение п размерности пространства X. К таким системам относятся различные распределенные объекты, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, объекты с запаздыванием и так далее. В этой книге рассматриваются только конечномерные динамические системы. Однако и для конечномерных систем не обязательно X = . Например, для простейшей механической системы - маятника - одной из переменных состояния является угол поворота относительно точки подвеса. Но в множестве возможных значений угловой переменной точки О рад. и 2тг рад. совпадают. Следовательно, это множество не может быть линейным пространством, его геометрическим образом является не прямая, а окружность. Строгое рассмотрение таких систем требует привлечения понятия многообразия и выходит за рамки этой книги. Тем не менее многие свойства систем с угловыми координатами можно изучать, не используя аксиом линейного пространства. Поэтому, если не оговорено противное, мы будем считать, что X = .

Из определения понятия состояния следует, что если х

-    состояние системы, ^^(•) - некоторое взаимно однозначное отображение пространства X в себя : X —X), то х = ja(x) также можно рассматривать как состояние данной системы [44]. Таким образом, состояние определяется неединственным образом, а с точностью до взаимно однозначного преобразования (которых может быть сколь угодно много). В частности, если X =  а Т - некоторая невырожденная

матрица порядка п (det Т / 0), то вектор х = Тх также может быть использован для описания состояния системы. Такой переход называется преобразованием базиса в пространстве состояний. Это преобразование не нарушает входовыходных соотношений в описании системы.

Конкретизируем вид уравнений состояния. Рассмотрим так называемые конечномерные дифференциальные (непрерывные) системы. Уравнения состояния таких систем могут быть представлены в виде

Первое из этих уравнений - (собственно) уравнение состояния, или эволюционное уравнение, описывает изменение состояния системы во времени t £TZ в зависимости от начальных условий в момент to и входного воздействия u(t). Второе уравнение - уравнение выхода, устанавливает связь между текущими значениями состояния и входа, с одной стороны, и выхода y(t) - с другой. Фактически вся динамика системы сосредоточена в первом уравнении, а второе является статическим соотношением.

Переменные, входящие в уравнения (1.1), считаются векторными: x(t) G TZ", y(t) G TZ\ u(t) G TZ™, /(•), g(-) - вектор- функции от векторных аргументов соответствующих размерностей.