6.3. Определение начального состояния по начальному значению выхода и его производных

В ряде случаев исходное описание системы имеет вид дифференциального уравнения п-го порядка:

для которого заданы начальные условия у(0_), у(0_),..., уП-і(о_) Требуется определить начальное значение Xq вектора состояния системы

эквивалентное данным начальным условиям с точки зрения реакции на входное воздействие.

Для простоты изложения будем считать, что u{t) =0 при ^ < О и что входное воздействие не содержит S{t). С учетом этого, для ^ < О из (6.11) получим

Таким образом, нами найдена система п уравнений относительно п неизвестных компонент начального вектора Xq

Систему (6.12) удобно записать в матричной форме. Для этого введем матрицу

и вектор 2^ = [у(0_), у(0_),..., у"“^(0_)]^. Тогда уравнение (6.12) принимает вид Qxq = 2^, откуда получаем Xq = Q~^z. Заметим, что задача имеет единственное решение, если матрица Q невырожденная det Q ф Как будет показано ниже, в 7.3., данное условие означает полную наблюдаемость системы (6.11). Это приводит к некоторым ограничениям в выборе базиса уравнений состояния. Например, если (6.11) имеет вид НКН (см. 2.3.), то Q = І„ при любых коэффициентах уравнения (6.10), следовательно, Xq = 2.

Заметим, кроме того, что при нулевых начальных условиях у(0_) = О, у(0_) =0, ... , у"“^(0_) = О выполнено z = О и, соответственно, жо = 0. Поэтому в распространенном случае расчета реакций системы (6.10), имеюш;ей нулевые начальные условия, начальное состояние Xq также равно нулю (кроме рассмотренной в п. 6.2. реакции на