6.4. Дискретные модели непрерывных систем

Важным следствием из формулы Коши являются алгоритмы преобразования моделей систем, заданных в виде дифференциальных уравнений, к разностным уравнениям. Это преобразование связано с задачей построения дискретных моделей непрерывных систем. Рассмотрим ее более подробно.

6-4-l- Постановка задачи дискретизации Пусть математическая модель системы имеет вид

Требуется получить эквивалентную систему разностных уравнений: ^

Эквивалентность систем понимается в том смысле, что при соответствующих начальных условиях их реакции на одно и то же входное воздействие совпадают. Более подробно, это означает, что при и[к\ = и{і^), где = кТо, Tq = const - интервал квантования, или период дискретности, выполнено у[к] = y{tk) - решения уравнений (6.13) и (6.14) совпадают при h = кТо.

Перечислим ряд приложений, для которых решение этой задачи актуально.

1.   Исследование импульсных систем. Импульсные системы фактически являются системами непрерывного действия, но в силу прерывания измерений сигнала импульсным элементом они ведут себя, как нестационарные с периодически изменяемым коэффициентом. Существенно упростить исследование таких систем можно, если представлять их дискретными моделями, описывающими процессы относительно моментов ’’срабатывания” импульсного звена.

2.   Исследование цифровых систем управления. Это приложение является одним из наиболее актуальных в связи с широким применением цифровых вычислительных устройств в САУ.

В таких системах управляющая ЭВМ работает в режиме реального времени совместно с управляемой (непрерывной) системой. По принципу действия ЭВМ является устройством дискретного времени и процесс преобразования в ней сигнала описывается разностными уравнениями. Таким образом.

имеется ’’гибридная” система, модель которой имеет вид дифференциально-разностных уравнений. Распространенным методом исследования таких систем является переход к единой форме описания как регулятора (закона управления), так и объекта в виде разностных уравнений. Таким образом, в данном случае требуется найти дискретную модель управляемого объекта.

3.   Синтез цифровых систем управления но непрерывной модели. Данный подход является в некотором смысле альтернативным предыдущему. В соответствии с ним система в целом рассматривается сначала как непрерывная и для нее известными методами теории непрерывных систем разрабатывается закон управления. Затем выполняется переход к описанию полученного закона разностными уравнениями для цифровой реализации. После этого производится исследование синтезированной непрерывно-дискретной системы, которое позволяет установить, насколько существенным является квантование процесса управления на динамику. Отметим, что при достаточно малом (по сравнению со временем переходных процессов в замкнутой системе) интервале Tq это влияние обычно оказывается незначительным и такой подход оправдан. ^ Данный метод находит широкое применение в близкой задаче синтеза цифровых частотно-избирательных фильтров по аналоговому прототипу [26].

Обоснование и исследование применимости этого метода для широкого класса нелинейных систем дано в рамках так называемого ’’метода непрерывных моделей” [36].

4.   Численное решение дифференциальных уравнений. При решении дифференциальных уравнений на ЭВМ реализуется некоторая рекуррентная процедура. Эта процедура описывается соответствующим разностным уравнением, которое может рассматриваться в качестве дискретной модели исходной непрерывной системы.

Следует отметить, что в общем случае поставленная вы-

ше задача не имеет точного решения. Это связано с тем, что нри дискретизации входного процесса теряется информация о его значениях между узлами квантования. Следовательно, выход дискретной модели от этих значений зависеть не может, в то время как реакция исходной непрерывной системы, естественно, зависит от всех значений входного процесса. Поэтому в обш;ем случае неизбежна алгоритмическая ошибка. Однако имеются ситуации, в которых дискретная модель, в принципе, может быть построена точно. Для этого требуется, чтобы значения процесса u{t) при і^_і < t <  = кТо однозначно определялись последовательностью {u{ti)} . Пз рассмотренных выше приложений это характерно для импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией первого рода, а также для цифровых систем управления, если в качестве входного процесса рассматривается управляюш;ее воздействие от ЭВМ. Действительно, в последнем случае исходным является дискретный процесс и[к], который преобразуется в непрерывный входной сигнал u{t) с помош;ью экс- траполятора. Поэтому, зная процесс и[к], можно однозначно восстановить u{t). Для других случаев характерна методическая ошибка. Ее значение будет тем меньше, чем медленнее изменяется входной процесс или чем меньше значение Tq.

Перейдем к изложению некоторых результатов. Описанный ниже метод применим для различных способов экстраполяции процесса u{t). Остановимся на простейшем и наиболее распространенном случае использования экстраполятора нулевого порядка {” фиксатора”), для которого

при