6.4-2. Формулы перехода к разностным уравнениям

Рассмотрим задачу вычисления матриц Р, Q, С, D' в (6.14) по заданным матрицам А, В, С, D в (6.13), исходя из сформулированного в п. 6.4.1. требования эквивалентности указанных систем по отношению к входному процессу u{t). Для простоты изложения ограничимся кусочно-постоянными процессами вида (6.15). В классической теории управления известно решение этой задачи с использованием аппарата передаточных функций и z-преобразования [15, 76, 95]. В соответствии с ним передаточная функция дискретной моде-

ли Wx>(2) = (l — z^)Z-  ■, где Z означает операцию

^-преобразования переходной функции исходной непрерывной системы. Рассмотрим решение аналогичной задачи на основе метода пространства состояний.

Используя формулу Коши (6.9), проинтегрируем уравнение (6.13) на интервале [і^, полагая на нем u{t) = u{tk) при Xq = x[tk). Получим

д

Для вычисления интеграла введем новую переменную Ѳ =

rtk+l     r-To

—г. Тогда г = —0 и /    dr = /    Пола-

Jtk  Jo

гая вначале матрицу А невырожденной (det Л / 0), получим

гТо

что / e^'^dr = — І„), следовательно,

Jo

Согласно уравнению выхода в (6.13), y{tk) = Сх{і^) + Du{tk). Сопоставим найденным для моментов значениям непрерывного процесса значения переменных дискретной модели: х[к] = x{tk), и[к] = u{tk), у[к] = y{tk)- Сравнивая уравнение (6.14) с полученным выражением (6.16), находим, что матрицы Р, Q, С", D' определяются равенствами (при det Л / 0)

Когда выполнен переход к (6.14), можно получить передаточную функцию дискретной системы по приведенной в главе 1.5. формуле:

Этот результат совпадает с указанным выше соотношением для W'p(z), полученном на основе изображения переходной функции, но он основан на использовании матричных операций и уравнений состояния. Широкое применение излагаемого в настояш;ем параграфе метода обусловлено наличием

достаточно эффективных вычислительных алгоритмов и их программной реализации.

При выводе формулы (6.17) для матрицы Q сделано предположение о невырожденности матрицы А, которое является сильно ограничивающим. Прежде чем обсудить пути преодоления возникающих при этом трудностей, рассмотрим некоторые методы вычисления матричной экспоненты.