6.5.1. Точные методы

Аналитическое выражение для матричной экспоненты е"^‘ через скалярные элементарные функции может быть получено достаточно просто, если исходная матрица А имеет каноническую форму Жордана, т.е. система (6.13) представлена в собственном базисе. Пе приводя эти формулы в общем виде, рассмотрим несколько важных частных случаев (см., например, [3, 47]).

1.   Матрица А диагональная с вещественными собственными значениями.

Пусть А = diagjsi, S2,... , s„}, Ims,- = 0, г = 1, ... п. Пепо- средственным вычислением суммы ряда (6.5) получаем, что е"^‘ = diagje'’^*,     , e"*"*}, где в"’’* - скалярные экспоненты.

2.   Матрица А блочно-диагональная с мнимыми собственными значениями.

Пусть сначала А =  g ’ значит, собственные числа

чисто мнимые, Si 2 = ±J/3, = —1- Применяя опять формулу

(6.5), убеждаемся, что справедливо выражение

Если матрица А имеет более общую форму А = о ^

—р а

(собственные числа Si 2 = j/3), то запишем ее в виде А = аіп + О ■ Учитывая, что единичная матрица коммути

рует с любой квадратной матрицей, можем записать ®

Теперь, используя приведенные в пп. 1,2 результаты, окончательно получаем

3. Матрица А имеет кратные вещественные собственные значения.

Пустьт.е.Вычисляв]

степени этой матрицы получаем, что

Следовательно, ряд (6.5) точно выражается конечным числом слагаемых и

Если теперь рассмотреть более общий случай кратных вещественных собственных значений si = S2 = «з = а, а ETZ,

т.е. еслианалогично п.2 получаем

4. Матрица А имеет кратные мнимые собственные значения.

Пусть матрица А порядка 4 имеет вид

где 2 X2-матрицаМатрица А имеет кратные

собственные числа Si 2 = «з,4 = а ± J/3 и имеет вещественную форму Жордана. Поступая аналогично пункту 2, представим

ее в видеОчевидно, что слагае

мые в этой сумме коммутируют и матричная экспонента находится произведением экспонент соответствующих матриц. Окончательно получаем

Приведенные здесь примеры показывают, что выражения для матричной экспоненты при жордановой форме матрицы имеют достаточно простой вид. В общем случае, когда

получим

где Ji,... , J; - клетки Жордана.

Если исходная матрица А имеет произвольный вид, то всегда существует невырожденное преобразование с матрицей Т такое, что подобная ей матрица А = ТАТ~^ - жорданова. Тогда, по свойству 8 переходной матрицы (см. 6.1.З.),

получаем = Т~^е.^*Т. Так как имеются эффективные вычислительные алгоритмы приведения к диагональной форме (особенно, если у матрицы А нет кратных собственных чисел), данный способ получения матричной экспоненты представляется достаточно удобным. Другой способ вычисления опирается на приближенное представление экспоненты и будет рассмотрен в следующем параграфе.

Аналитические формулы для матричной экспоненты могут быть получены также на основе преобразования Лапласа [3, 47, 94]. Этот метод основан на том, что резольвента i?(s) постоянной матрицы А является изображением по Лапласу ее матричной экспоненты: £(е"^‘) = (sl„ — Л) (см. сноску 10 на с. 35). Поэтому элементы переходной матрицы можно найти с помощью таблиц обратного преобразования Лапласа [15, 66, 76, 94, 95].