6.5.2. Приближенные методы

Приближенные методы основаны на различных аппроксимациях ряда (6.5) выражениями, содержащими конечное число слагаемых. Наиболее очевидной является аппроксимация Тейлора порядка к, согласно которой ряд (6.5) приближенно заменяется конечной суммой

Например, при к = 1 получаем линейное приближение

которое будем называть аппроксимацией Эйлера

Аппроксимация (6.19) не является наилучшей. Во многих отношениях более предпочтительна более общая аппроксимация Паде. При такой аппроксимации экспонента представляется рациональной функциейс числителем степени и знаменателем степени ѵ, определяемыми

формулами

Соответственно, для матричного аргумента х = Ат запишем

где Р^^і,{Ат), G^і^{Ат) - матричные многочлены вида (6.21). В дальнейшем (6.22) будем называть аппроксимацией Паде

Приведем некоторые частные случаи (6.22). Прежде всего отметим, что аппроксимация Тейлора (6.19) является частным случаем (6.22) при гѵ = 0. Следовательно, формула метода Эйлера (6.20) совпадает с аппроксимацией Паде (1,0). Аппроксимация Паде (0,1) имеет вид

и в дальнейшем будет называться неявным методом Эйлера.

Аппроксимация Паде (1,1) соответствует методу Тастина (см. также с. 153) и определяется формулой

Формула Паде (2,2) дает выражение

Наконец, формула Паде (3,3) приводит к соотношению (6.22), где

Одним из преимуществ аппроксимаций Паде является их более высокая точность, чем соответствующих (при к = max(^^,гv)) аппроксимаций Тейлора. Ошибка аппроксимации (6.19) имеет порядок малости    а ошибка ’’диагональ

ных” аппроксимаций (6.22) {іл,ѵ) при ц = ѵ - порядок малости 0(г2'‘+^). Другим достоинством формулы Паде при ѵ ф является сохранение свойства устойчивости непрерывной системы при переходе к дискретной модели. ® Недостатком неявных методов является необходимость обращения матрицы Gці,{Ат) и связанная с этим проблема ее вырожденности. Следует, однако, иметь в виду, что существуют достаточно эффективные алгоритмы обращения матриц и возникающие здесь дополнительные вычислительные затраты обычно оправданы. Что же касается возможной вырожденности матрицы G, то заметим, что она имеет место, если у матрицы А есть собственные числа, совпадающие с корнями jj многочлена G'^j,(7). Из (6.21) можно вывести, что при ц = ѵ выполнено Re7j >0, і =  Следовательно, для устойчивых непрерывных систем всегда выполнено det G'^j.(ylr) ф 0. Если же система неустойчива, то при вырожденности матрицы G следует использовать аппроксимацию с другими параметрами V, либо несколько изменить значение г. Заметим что при г —>■ О Gці,{Ат) —>■ І„, следовательно, выбор достаточно малого г гарантирует detG'^j.(ylr) ф 0.

При вычислении матричной экспоненты может оказаться полезным предварительное определение ее на малом интервале г по формулам (6.19) или (6.22) (что дает высокую точность) с последующим рекуррентным возведением в степень полученного результата {метод Ракитского) [72]. Здесь используется свойство = (е"^^) при Tq = кт.

Предлагается также при определении высоких степеней матрицы А пользоваться теоремой Кэли-Гамильтона [53], согласно которой каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Поэтому

где а,- - коэффициенты характеристического многочлена

Свойства дискретных моделей, основанных на приближенных методах вычислений а также некоторые применения

приведенных соотношений будут рассмотрены ниже в п.п. 6.7. 6.10. Сейчас более подробно рассмотрим вопрос вычисления матрицы Q в (6.14), обраш;ая внимание на возможность det Л = 0.