6.6. Вычисление матрицы Q в общем случае

Напомним, что формула (6.17) для вычисления матрицы Q применима, если det Л / О . Трудностей, связанных с вычислением Q при вырожденной матрице Л, можно избежать, если при формальной подстановке выражения для Р = е^^°, полученного из аппроксимаций Тейлора (6.19) или Наде (6.22), в (6.17) произвести ”сокраш;ение” матрицы Л. Тогда в выражение для Q матрица А~^ входить не будет. Например, аппроксимация по методу Эйлера (6.20) Р = 1„ + ATq приводит к формуле Q = BTq, а аппроксимация Наде (1,1) (6.24) (’’метод Тастина”) - к формуле Q = (І„ — ATq!2)~^BTq.

Другой способ состоит в расширении уравнений состояния исходной системы (6.13). Входной процесс u[t) при tk < t < tk+i рассматривается как решение некоторого однородного дифференциального уравнения. Тогда расширенная система тоже является однородной и в вычислении по (6.17) нет необходимости. Искомые матрицы Р mQ получаются как подматрицы ’’расширенной” матричной экспоненты.

Продемонстрируем этот подход для ступенчатого входного процесса u{t) = u{tk) при < t < tk+i- Для указанного промежутка времени уравнение (6.13) запишем в виде

Введем расширенный (п-Ьт)-мерный вектор состояния x{t) = со1{ж(^) ,u{t)} и (п +т)х(п + т)- матрицу

Уравнение (6.27) представим в виде

x{t) = Ax{t), x{tk) = col{x[k],u[k]}, tk<t<tk+i- (6.28)

Соответствуюш;ая дискретная модель (аналогично (6.14)) принимает вид

где Р = . Учитывая структуру матрицы Л и формулу (6.5) для Р, непосредственно убеждаемся, что матрица Р имеет следующую блочную структуру:

С учетом этого из (6.29) находим, что

Сравнивая (6.30) с (6.14), видим, что матрицы Р, Q в (6.14) совпадают с Р', Q'. Поэтому они могут быть получены, ® как соответствующие подматрицы матрицы Р = .

Отметим также, что при использовании описанных в п.

6.5.1.    аналитических методов, основанных на приведении матрицы А к канонической жордановой форме, в вычислении Q по формуле (6.17) нет необходимости. В этом случае интеграл от матричной экспоненты в (6.9) может быть найден аналитически и представлен элементарными функциями.