6.7.1.       Смещенное z-преобразование

В ряде приложений представляет интерес получение дискретной модели системы, в которой значения х[к\, у[к\ соответствуют состоянию и выходу непрерывной системы не в моменты времени = кТо (как указано в 6.4.1.), а в моменты

h,s = {к + е)То, О < е < 1. Итак, полагая, как и ранее, входное воздействие кусочно-постоянным вида (6.15), получим разностные уравнения, описывающие переход от состояния

x{tk,s) К СОСТОЯНИЮ ж(^/;_|_1_г) ПрИ ИЗВеСТНОМ u[t), ^ < h + l,s-

Для этого, как и в 6.4.2., проинтегрируем уравнение (6.13) на интервале по формуле (6.9). Получим

Вычисляя интегралы, получаем аналогичное (6.16) уравнение

где по-прежнему Р = матрицы Qi, Q2 при det Аф О опре

деляются соотношениями

Обозначив х[к] = x{tk^e), у[к] = y{tk,e), получим разностное уравнение

Отсюда передаточная функция дискретной модели получается в виде WD{z,e) =С {zl^ - Р)~^ ■ {Qi + Q2Z) + D.

Прежде чем обратиться к вычислению Qi, Q2 ^ общем случае, заметим, что уравнение (6.31) не имеет стандартного вида (6.14). Для устранения возникающих при этом неудобств выполним преобразование (6.31) к виду (6.14). Обозначив х[к] = х[к] — Q2u[k], получим х[к] = х[к] + Q2u[k] и

Данное уравнение имеет вид (6.14), где

При вычислении матриц Qi, Q2 можно использовать метод, описанный в п. 6.6. Для этого получим  последовательно интегрируя уравнение (6.27) на интервале [tk,e,h+i\ при начальных условиях x[tk^s) = х[к], u[tk^s) = и[к] и на интервале [tk+i,tk+i^s] при начальном значении x[tk+i), полученном на конце первого интервала, взяв u[tk+i) = и[к + 1]. В результате получаем разностное уравнение

где Р^, Qs, Qi-e - соответствующие подматрицы матриц , Р^ = е^То{і-е)^ Вычисления можно упростить, если учесть, что Р = Р^Рі_^.