1.2. Уравнения состояния линейных систем

Если функции /(•), д(-) линейны по ж, и, то уравнения состояния (1.1) могут быть записаны в виде [44]

Такие системы называются непрерывными линейными системами. ® Здесь, как и выше, x(t) , y(t)(zTZ\ u(t)ElZ™, a матрицы-функции A(t), B(t), C(t), D(t) имеют размеры пхп, пхпг, Іхп, Ixtn соответственно.

Определение 1. Если D(t) = О, то то система (1.2) называется собственной (строго реализуемой). В противном случае система называется несобственной. □

Уравнения состояния (1.2) реализуемых непрерывных систем иллюстрируются структурной схемой, приведенной на рис. 1.2.

Определение 2. Если матрицы A{t), B{t), C{t), D{t) постоянны (не зависят от времени ^), то система (1.2) называется стационарной^ в противном случае - нестационарной. □

Вид процессов в стационарных системах не зависит от того, какой момент времени рассматривается как начальный. Поэтому для них можно считать = 0.

Поскольку ниже основное внимание уделяется стационарным собственным системам, запишем соответствующие уравнения состояния:

Аналогично могут быть записаны уравнения состояния реализуемых дискретных систем. Они имеют вид разностных уравнений

- для нелинейных систем и

-    для линейных систем. В уравнениях (1.4), (1.5) к = ко,ко + + 1, /го + 2,... - ’’дискретное время”, х[к] G TZ", у[к] ETZ‘, и[к] £ TZ™, f{-)£TZ", ^(-) G7^^ Матрицы-функции Л[А;], В[к], С[к], D[k] имеют размеры пхп, пхпг, Іхп, Іхпг.

Замечание. Иногда уравнения состояния записывают более подробно, выделяя в них, кроме управления, внешние возмуш;ения а также разделяя выходной сигнал на упра

вляемый Ус{і) и измеряемый Ут{і) выходы. Тогда уравнения (1.3) принимают вид

i{t) = Ax{t) + B^u{t) + Ус{і) = CcX{t), Ут{і) =CmX{t).

В некоторых случаях подобная детализация оказывается удобной и будет использоваться ниже.