6.8. Подстановочные формулы для вычисления передаточной функции дискретной модели

Выше, в 6.4.2. приведена формула (6.18), позволяюш;ая вычислить передаточную функцию дискретной системы по разностному уравнению (6.14), полученному преобразованием уравнений состояния непрерывной системы (6.13). Если исходная система задана передаточной функцией W(s), то такой подход

предполагает предварительное приведение W(s) к уравнениям состояния. Для этого можно использовать описанные в 4. процедуры. Однако можно получить приближенное решение задачи, при котором искомая функция Wx>(2) определяется непосредственной заменой аргумента s в W(s). Эти формулы основаны на ’’линейных” аппроксимациях Паде ), в которых значения и гѵ не превосходят единицы.

Вначале используем формулу (6.20). В соответствии с ней в (6.18) следует подставить F = І„ + ATq и, как отмечено в п. 6.6. Q = BTq. Отсюда получим

Сравнивая полученное выражение с известной формулой W(s) = С (sl„ — А)~^В, убеждаемся, что W'p(z) можно приближенно получить из W(s) заменой аргумента

Если теперь применить формулу неявного метода Эйлера (6.23), то аналогично получаем

Наконец, аппроксимация (6.24) (Паде (1,1 )) после несложных преобразований приводит к подстановке метода Тастина:

Точность этих методов зависит от соотношения между интервалом То и наименьшей постоянной времени непрерывной системы W(s). При разумном выборе Tq точность может оказаться достаточно высокой. Кроме того, как будет показано в п. 6.10. формулы (6.39) и (6.40) сохраняют свойство устойчивости модели при любом (а не только при достаточно малом)

То > 0.

Интересно рассмотреть нсевдочастотные характеристики полученных таким способом передаточных функций дискретных систем. Как известно, эти характеристики получаются w-нреобразованием Wx>(2) и последующей подстановкой

т

W = ■ jX, где а Л G [0,оо) - псевдочасто

та [15, 66, 76, 95]. Поскольку, согласно w-нреобразовапию,

^ ^ I = W, а I = 1 — W, из формулы (6.40) получаем выражение

Таким образом, нсевдочастотные характеристики дискретной системы приближенно могут быть построены непосредственно по частотным характеристикам исходной непрерывной системы с введением дополнительного отрицательного

Т

фазового сдвига Л<,£?(Л) = —arctg-^A и изменением коэффици-

I

ента передачи в у 1 +   Р^з. Этот подход, хоть и явля

ется приближенным, позволяет учесть влияние квантования по времени в дискретной системе и вместе с тем использовать хорошо разработанные процедуры синтеза непрерывных систем управления для получения ’’непрерывных моделей” цифровых регуляторов. Точность данного метода определяется соотношением между частотой среза непрерывной модели (найденной с учетом указанной поправки) и интервалом квантования сигнала управления Tq. Па этапе предварительного синтеза можно рекомендовать выполнение соотношения То < 0.3t^-i.

Замечание. К подстановочным методам приближенного перехода от W(s) к W'p(z) относятся также методы, основанные на соотношении 2,- = между полюсами непрерывной системы s,- и ее дискретной модели 2,-. Действительно, сравнивая формулы для фундаментальных составляющих решений однородного дифференциального и разностного уравнений {уі{і) = P{t)e^'* и Уі[к\ = P'p[k\z’- соответственно), убеждаемся, что у(кТо) = у[к] возможно, если Zi = при всех і = Следовательно, передаточные функции W(s) и Wx>{z) должны иметь указанную связь

между полюсами s,- и 2,-. Для числителей передаточных функций это соотношение не выполняется. Однако при достаточно малом То его можно приближенно распространить и на нули передаточных функций. Тогда получаем подстановочную формулуЧтобы W'p(z) была отно

шением многочленов от 2, используется приближенное представление 1п 2. Например, можно использовать аппроксима-

Z — I     Z — I

иди Inz ^ Z — I, Inz ^  или Inz ^ 2  . Последняя

2    Z +1

аппроксимация приводит к формуле

известной в литературе как метод Тастина . Полученная на с. 151 формула (6.40) отличается от указанной множителем 2

—-ру, позволяюш;ем учесть характерное для дискретных систем фазовое запаздывание.