6.9.1. Метод аналитических преобразований

Рассмотрим сначала непрерывную систему, заданную уравнениями состояния

где Xi{t), уі{і), А, В, С - векторы и матрицы соответствую- ш;их размеров, а входной процесс Ui{t) определяется выражением ui{t) = Kyi{t) + gi{kiTi), где ki = E{t/Ti), g{t) - внешнее воздействие, Ti = const - интервал дискретности, a через £’(•) обозначена функция вычисления целой части числа. Таким образом, рассматривается непрерывная система (6.41), замкнутая непрерывным регулятором в обратной связи, на вход которой аддитивно с управлением поступает кусочнопостоянное на интервалах длительности Ті входное воздействие. Уравнения замкнутой системы с учетом обратной связи имеют вид

Для найденной системы выполним переход к дискретной модели относительно моментов по описанной в п. 6.4.2. процедуре. Получим разностные уравнения:

где Рі = q(a+bk)Ti ^ Пусть теперь входной процесс gi[tki) поступает с выхода экстраполятора нулевого порядка на период Ті (следовательно, в моменты 9i{tki) совпадают с ді[кі]) и является выходом дискретной подсистемы, заданной уравнениями

со входным воздействием д2- Определим общий вектор состояния х[кі] = со1{жі[А;і], ж'і[А;і]}. Как нетрудно убедиться, уравнения (6.43), (6.44) можно объединить в одно уравнение:

в котором матрицы Д, Qi, С\ имеют вид

Далее, пусть процесс 52[^і] принимает постоянные значения на промежутках     где интервал квантования To = dTi

для некоторого постоянного натурального d. Следовательно, в течение каждых d интервалов длительности Ті (отсчитывая от моментов = Ток2, к2 = 0, 1, 2,...) значение д2[кі] = (?2[^2], где кі = E{t/Ti),k2 = E{t/To). Найдем значение Хі[к2 + 1] по Хі[к2], используя уравнение (6.45) с учетом того, что при кі, ki + l, ... , ki+ d входной сигнал 52[^і] не изменяется. Последовательно применяя формулу (6.45), получим

Таким образом, получаем разностные уравнения состояния, определяющие поведение рассмотренной непрерывнодискретной системы относительно моментов к2То. Перепишем их в виде

гдеПоложим

теперь, что процесс 52 [^2] формируется дискретной системой с интервалом квантования Tq, уравнения которой имеют вид

Как и выше, введем общий вектор состояния х[к2] = со1{жі[А;2], ®2[^2]} и запишем уравнения состояния системы (6.46), (6.47) в виде

в которой матрицы Р, Q, С имеют блочную структуру:

Таким образом, найдены уравнения состояния дискретной системы с наибольшим периодом дискретности Tq. Процесс преобразования матриц можно продолжить, если имеются другие дискретные подсистемы с интервалами квантования, кратными Tq. Полученные уравнения можно использовать для нахождения передаточной фукнции системы (6.48), определения частотных характеристик и исследования ее устойчивости.