6.9.2. Метод моделирования

Излагаемый здесь метод решения поставленной задачи сводится к приведению модели системы к виду (6.14) путем расчета переходной функции. Для простых задач решение может быть получено аналитически, однако, как правило, приходится прибегать к численному интегрированию. Предлагаемый ниже подход показывает возможность использования программ моделирования для получения единого описания непрерывно-дискретных систем. За начальные точки отсчета примем моменты времени = кТо, к = 0,1,, и рассмотрим промежутки [tk,tk+i]- Учитывая стационарность системы, для этих промежутков можно принять tk = О и в дальнейшем рассматривать промежуток [О, То]. Выделим внутри него моменты времени {j = 1,2,..., N, г = 1,2,... , dj), в которые изменяется состояние j-й дискретной подсистемы. Они образуют последовательности tjr = tjo + rTj, где tjo < Tj - ”нача.лъные фазы” для каждой подсистемы. Суш;ественно то, что для всех к вид этих последовательностей одинаков в силу постоянства Tj и кратности частот квантования. Следовательно, оператор S в уравнении состояние-вход-выход системы y(t) = (5(ж(^о); W[to,t]) стационарный. Кроме того, он будет и линейным вследствие линейности каждой подсистемы. Поскольку нас интересуют уравнения системы относительно моментов кТд, будем дополнительно предполагать, что значения u(tf;) однозначно определяют вид u(t) внутри каждого промежутка [tk,tk+-\\ (см. выше 6.4.2. 6.7.). Поэтому относительно моментов tk рассматриваемая система может быть

описана разностными уравнениями состояния

Определив значения матриц Р, Q, С, D, мы получим решение поставленной задачи. Для этого учтем, что решение разностного уравнения (6.49) по аналогии с (6.8) имеет вид

в котором переходная матрица Ф[/г] удовлетворяет уравнению

Из (6.51) видим, что Р = Ф[1]. Полагая и[к] = О, получим из (6.50), что х,[\] = Ф[1]ж,[0], где ж,[0] = е, = [О,... , 0]^.

І

Следовательно, жДі] есть г-й столбец матрицы Ф[1] и, следовательно, искомой матрицы Р. Циклически выполняя вычисления для і = 1,2,... , найдем все столбцы матрицы Р. Таким образом, для получения Р можно п раз промоделировать исследуемую систему на промежутке [О, То] при единичных начальных условиях. Для вычисления матрицы Q положим ж[0] = О, Ui[k] = е,', г = 1,2,.. . ,т . Следовательно,

В = [жі[1]:ж2[1]: ... :Жт[1]]. Вычисление Хі[\] выполняется моделированием системы при нулевых начальных условиях и единичных входах циклически для і = 1,2,... ,m . Вычисление матрицы С производится по столбцам С =   • • • :Уп], Уі - выход системы при и = О, Хі = &і, і = 1,2,... ,т , к = 0. Для определения матрицы D следует получить выход при ж = О, Ui = &і, і = 1,2,... ,т , к = 0. Заметим, что для вычисления матриц С, D не требуется моделировать систему на указанном интервале. Эти матрицы находятся по алгебраическим соотношениям при постоянном состоянии и входе системы. Рассмотрим следуюш;ий пример.

Пример. Пусть непрерывно-дискретная система описывается следуюш;ими дифференциально-разностными уравнениями:

где kj = E{t/Tj), j = 1,2, g{t) - задающее (командное) воздействие - вход системы; Ті, - интервалы дискретности; Ті = 2Т2; Ki, К2 ^ коэффициенты передачи; y{t) - выход системы; х = [жі, Х2] - общий вектор состояния системы. Приведем уравнения (6.52) к виду (6.49), используя изложенную выше методику. Для этого сначала положим g{t) = О, ж(0) = [1,0]’^. Пайдя решение (6.52) при^ = Ті (учитывая, что Ті = 2Т2), получим х{Ті) = [1,Т2(2 — А'27’2)]’'. Полагая теперь ж(0) = [О, І]’', найдем, что х{Ті) = [—2А'іТ'2, (1 — Следовательно, матрица

Для вычисления матрицы Q положим ж(0) = О, g{t) = 1. Снова решая (6.52), получим Q = [2А'іТ'2,0] . Матрицы С, D определяются по уравнению выхода в (6.52) и имеют вид С = [0,1], D = 0. Найденные таким образом уравнения вида (6.49) точно определяют поведение системы (6.52) при

^ = 0,Гі,2Гі,--- •

Для более сложных случаев задача решается численно моделированием системы. Число циклов моделирования равно п + т. Каждый цикл выполняется на промежутке [0,Т], где Т - наибольший период дискретности системы. При указанных предположениях метод не имеет алгоритмической ошибки и его точность определяется погрешностью моделирования. Значение этой погрешности может быть уменьшено подходящим выбором метода моделирования (численного интегрирования) и снижением величины его шага. Описанный здесь метод можно использовать и для построения дискретных моделей рассмотренных выше одночастотных систем. При этом не требуется преобразовывать уравнения системы к единым уравнениям состояния (6.13), а достаточно располагать программой моделирования системы. Данный метод можно также использовать для приближенного исследования нестационарных и нелинейных систем.