6.10.1.     Условия устойчивости

Точный переход. Как известно, асимптотическая устойчивость непрерывных систем имеет место, если корни характеристического многочлена (собственные числа) матрицы А в (6.13) имеют отрицательные вещественные части: Res,- < О при det(s,I„ — А) = О, і = . ,п ([3, 15, 76, 79, 66]). В свою очередь, дискретная система (6.14) будет устойчива асимптотически, если выполнено условие: \zi\ < 1 при det(2^,T„ — Р) =

О,   і = . ,п. Для проверки устойчивости дискретной модели, полученной на основе некоторого метода, воспользуемся следующей известной из теории матриц теоремой. [53]

Теорема. Если функция /(s) определена на спектре {s,} пхп-матрицы А, то собственные числа Zi пхп-матрицы P = f{A) выражаются формулами Zi = /(sj), i = I,... ,п. □ Согласно точной формуле (6.17), Р =  Поэтому соб

ственные числа Zi матрицы Р определяются соотношением Zi = , і = 1,... ,п . Следовательно, при всех То > О выполнено {Res,- < О     \zi\ < 1} и свойства устойчивости систем (6.13), (6.14) эквивалентны. Рассмотрим теперь описанные в п. 6.5.2. приближенные методы.

2.   Метод Эйлера. Согласно этому методу, по (6.20) получаем Р = 1„ + ATq. Следовательно, Zi = \ + SiTo, і = I,... ,п . Проверка условия устойчивости \zi\ < 1 приводит к неравен-

ствам

Условие (6.53) означает, что значения корней характеристического многочлена системы, умноженные на интервал квантования, должны находиться на комплексной плоскости внутри окружности единичного радиуса с центром в точке ( —l,jO). Оно эквивалентно неравенству

Например, дискретная модель апериодического звена с постоянной времени, полученная по формуле Эйлера, будет неустойчивой при То/2 > Т. Дискретная модель консервативного звена (si_2 = ±J/3) неустойчива при всех Tq > 0. Это свойство существенно сужает область применения явного метода Эйлера, ограничивая ее малыми (относительно модулей собственных чисел системы) значениями Tq.

3. Неявный метод Эйлера. Согласно формуле (6.23),

Р = (І„ — Лг)~^. Следовательно, 2,-= —, і =    .

1 - 8,То

Нетрудно убедиться, что условие \zi\ < 1 приводит теперь к неравенствам

Условие (6.55) означает, что корни характеристического многочлена системы, умноженные на интервал квантования, должны находиться на комплексной плоскости вне окружности единичного радиуса с центром в точке (l,jO). В свою очередь отсюда следует, что при такой аппроксимации для любой устойчивой непрерывной системы будет получена устойчивая дискретная модель при всех (а не только малых) То > 0. Отметим, что свойства устойчивости непрерывных и дискретных моделей не будут эквивалентными: устойчивые дискретные модели могут получиться и при неустойчивости исходных непрерывных систем. Кроме того, точность аппроксимации по этому методу невелика (как отмечено выше, ошибка

имеет порядок малости 0{Tq) ). Лучшие результаты получаются с помош;ью ’’диагопальпых” аппроксимаций Паде.

4. Аппроксимации Паде при і> = ц. Можно установить, что для аппроксимаций Паде (    при ѵ = ji ж всех То > О справедливо {ReSj- < О \zi\ < l}. Следовательно, при их использовании устойчивость системы (6.13) эквивалентна устойчивости системы (6.14). В частности, это свойство выполнено для рассмотренных выше аппроксимаций (6.24) (метод Тастина) и (6.25). Учитывая, что их ошибки имеют порядки малости 0{Tq) и 0{Tq) соответственно, можно рассчитывать на получение дискретных моделей, свойства которых достаточно близки к свойствам исходных непрерывных систем.

В качестве иллюстрации на рис. 6.1 показаны границы областей устойчивости дискретных моделей непрерывных систем в плоскости sTq. Следует учесть, что для неявных методов {іу ф 0) область устойчивости располагается по внешнюю сторону от границы.