6.10.2. Устойчивость методов численного интегрирования

Можно установить тесную связь между рассмотренными выше методами построения дискретных моделей непрерывных

систем, с одной стороны, и методами численного решения задачи Коши - с другой [3, 72]. Не вдаваясь в подробности, рассмотрим некоторые характерные особенности последней задачи. Пусть требуется проинтегрировать уравнение

при

Его численное решение может быть получено в виде некоторого рекуррентного соотношения Xk+i = f{xk,k), где к= 0,1,2,.. . - номер шага (итерации), а значения х^ соответствуют значениям искомой функции x{t) в дискретные моменты времени = kh, где /г > О - шаг интегрирования. Вид функции ^p{xk, к) определяется по исходной функции f{x, t) согласно выбранному методу численного интегрирования. Например, используя метод Эйлера, получаем известную формулу

Рассмотрим подробнее случай, когда f{x,t) линейна по х и уравнение (6.56) может быть представлено в виде

где А - пхп-матрица. Формула метода Эйлера (6.57) приводит к разностному уравнению

Заметим, что (6.59) с точностью до обозначений совпадает с уравнением (6.14), в котором матрицы F, Q получены на основе приближенной формулы (6.20) для матричной экспоненты. Устойчивость полученной численной процедуры определяется приведенными выше в п. 6.10.1. свойствами данной аппроксимации: для А и Tq = h должно выполняться неравенство (6.53). Следовательно, если собственные числа системы велики по модулю (что соответствует малым постоянным

времени), чтобы получить устойчивое решение, следует выбирать шаг интегрирования h достаточно малым. Это приводит к значительным затратам машинного времени. Кроме того, следует учесть, что уменьшение величины h вызывает увеличение инструментальных ошибок, связанных с конечностью разрядной сетки ЭВМ. Подобным свойством обладают все так называемые явные методы численного интегрирования, которые для линейных стационарных систем сводятся к аппроксимациям Тейлора (6.19). Наиболее отчетливо недостатки явных методов проявляются при решении жестких систем, у которых собственные числа отличаются по модулю в сотни и более раз. Для таких систем характерны бы- стропротекаюш;ие процессы в ” пограничном слое”, которые развиваются на фоне медленных движений [3, 72]. Обычно последние и представляют интерес для исследователя, однако при явных методах интегрировния приходится выбирать шаг h таким образом, чтобы не произошла потеря устойчивости из-за быстрых движений. Рассмотрим теперь так называемые неявные методы. Предположим, что в (6.56) известно значение x{tk+i) и требуется найти x[tk). Очевидно, что в ’’обратном” времени уравнение (6.56) примет вид

Пнтегрирование его по формуле (6.57) дает

Разрешая это нелинейное уравнение относительно Xk+i, получаем искомое рекуррентное соотношение Xk+i = <~p{xk,k). Если исходное уравнение имеет вид (6.58), приходим к разностному уравнению

которое соответствует вычислению матричной экспоненты по формуле Паде (0,1). Уравнение (6.61) устойчиво для любой устойчивой системы (6.58) при всех /г > 0. Подобным

образом можно получить неявные методы интегрирования более высокого порядка, соответствующие другим аппроксимациям Паде. Надо отметить, что использование неявных методов предполагает решение на каждом шаге интегрирования систем нелинейных алгебраических уравненией вида (6.60).

В обш;ем случае это приводит к значительным вычислительным затратам, поэтому применение неявных методов обычно эффективно именно для жестких систем. Если рассматривается задача моделирования линейных стационарных систем вида (6.58), то в решении систем уравнений (6.60) на каждой итерации нет необходимости. Действительно, тогда достаточно вычислить матрицы Р, Q соответствуюш;ей (6.58) дискретной модели (6.14) перед началом интегрирования, а затем использовать рекуррентную формулу (6.14) для получения последовательности х^. В этом случае применение аппроксимаций Паде позволяет многократно уменьшить время вычислений по сравнению со стандартными процедурами интегрирования. Более подробные сведения о численном решении дифференциальных уравнений и условиях устойчивости численных методов содержатся, например, в работах [13, 72], а также в п. 11.4.5. (с. 277), посвяш;енном методу функций Ляпунова.