1.3. Линеаризация уравнений состояния

В реальных системах всегда присутствуют нелинейные зависимости, обусловленные, например, такими свойствами физических звеньев, как насьщение, люфт, нечувствительность, кулоново (’’сухое”) трение и так далее. Эти эффекты приводят к нелинейности системы в целом. Методы исследования нелинейных систем будут рассмотрены в главе 11. с. 242. Исследование системы можно суш;ественно упростить путем линеаризации ее модели, т.е. приближенной заменой уравнений вида (1.1) уравнениями (1.2) (или, для дискретных процессов,

-    использованием (1.5) вместо (1.4)).

Рассмотрим процесс линеаризации в обш;ем виде. Пусть динамика системы описывается уравнениями состояния (1.1)

Введем некоторые произвольно изменяюш;иеся по времени (’’опорные”) функции x*{t) G TZ" и u*{t) G 1Z™. Пайдем линейную часть разложения функций /(•), д{-) в окрестности x*[t), u*[t) в ряд Тейлора. ® В результате получим

где Ax(t) = x{t) — X* {t) - отклонение состояния исходной модели но отношению к вектору x*[t)] Au{t) = u{t)—u*{t) - отклоне-

9f{-) df(-) dg(-) dg(-) ние входного процесса от и (t), ^ ^    ^

- матрицы частных производных вектор-функций f{-),g{-) {матрицы Якоби) по компонентам векторов х, и, вычисленные при значениях x{t) = x*{t), u[t) = u*{t)] - малые величины второго порядка малости по Ax{t), Au{t).

Отсюда следует общий вид уравнений для приращений:

где

матрицы-функции размеров пхп, пхпг, Іхп, Іхпг (соответственно), f*{t) = f{x*{t),u*{t),t).

При достаточно малых отклонениях x{t), u[t) от опорных траекторий x*{t),u*{t) малыми величинами более высокого порядка можно пренебречь.

Конкретный вид линеаризованной модели зависит от выбора опорного движения x*{t), u*{t). Основной интерес представляют следующие частные случаи [23, 47, 72]:

-    в качестве опорного выбирается некоторое невозмущенное движение, когда x*{t), u*{t) удовлетворяют исходному уравнению (1.7).

В этом случае линеаризованная модель имеет вид

-    в качестве опорного движения выбираются неизменные во времени состояние системы и входной процесс, т.е. считается, что x*{t) = О, й*{і) = О, x*{t) = ж*, й*{і) = u*{t). Тогда

линеаризованная модель имеет вид

Заметим, что в приведенных выше соотношениях в качестве u{t), u*{t) можно рассматривать не только внешние воздействия на систему, но и ее параметры. Тогда модель, полученная в результате линеаризации, позволяет приближенно судить о чувствительности решений системы к отклонению параметров от расчетных значений, причем эти отклонения представляются в виде аддитивных возмуш;ений (так как они являются компонентами ’’расширенного” входного процесса Au{t)).

Пример. Линеаризация модели маятника

Для иллюстрации рассмотрим линеаризацию уравнений свободного движения математического маятника массой m и длиной I. Влиянием сил трения будем пренебрегать. Для вектора состояния x{t) = , где ір - угол поворота

маятника, получим систему уравнений

Здесь J = тР— момент инерции маятника, д— ускорение свободного падения. Пулевому значению угла f соответствует положение маятника ’’вертикально вниз”. Маятник (1.10) имеет два состояния равновесия: = О и Жц = [тг, 0] . ^ Линеаризация (1.10) в окрестности этих состояний приводит к уравнениям вида (1.3) с матрицей

где знак ’’минус” соответствует нижнему, а знак ’’плюс” - верхнему состояниям равновесия (т.е. точкам ш х^. )

Рассмотрим теперь в качестве опорной траектории процесс x*{t)^ у которого x\{t) = |cos(/3^), xl{t) = —1/3sin(/3^), где /5 =    Заметим, что такой процесс соответствует пове

дению модели, полученной линеаризацией относительно состояния Xq при ж(0) = [|,0] . Тогда функция

В свою очередь x*{t) = [—1/3sin(/3^), —1/3^ cos(/3^)]’', откуда получаем уравнения в отклонениях Ax{t)=x{t)-x*{t) :

Уравнения (1-11) представляют собой систему линейных неоднородных нестационарных уравнений и дают более точное приближение к колебательному процессу в исходной нелинейной системе (1.10), чем линеаризация в окрестности состояния Xq. Отметим, что (1.11) имеют вид (1.2) со входным процессом v{t) = — sin(| cos(/3^))-b |/3^cos(/3^) и матри

цами

Приведенная здесь процедура линеаризации может применяться (с очевидной заменой обозначений и аргументов) и для дискретных систем. Для линеаризации колебательных процессов также известен и широко используется так называемый метод гармонического баланса {гармонической линеаризации) [15, 76, 93, 94, 95, ИЗ] (см. ниже п. 11.3. с. 247).