7.1.  Основные определения

Понятия управляемости и наблюдаемости являются одними из основных понятий теории управления. На содержательном уровне управляемость означает принципиальную возможность приведения системы в любое заданное состояние, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по результатам измерений. Эти свойства весьма существенны для построения работоспособных систем автоматического управления. Приведем некоторые определения [3, 30, 44, 47, 83].

Определение 1. Состояние х* достижимо из состояния Жо, если существует допустимое (кусочно-непрерывное) управление u^to,ti], определенное на конечном промежутке

О    <    < оо такое, что система под действием управле

ния u^to,ti] переводится из начального состояния x{to) = Xq в конечное x{ti) = х*.

Определение 2. Система называется силъносвязной {вполне достижимой), если у нее каждое состояние достижимо из любого другого. Другими словами, у подобных систем нет таких областей в пространстве состояний, в которые за конечное время нельзя попасть из любых других областей под действием допустимого управления.

Для линейных систем понятие сильносвязности переходит в понятие полной управляемости.

В качестве примера системы, для которой это свойство отсутствует, можно рассмотреть объект, состоящий из звена с насыщением, последовательно соединенного с апериодическим звеном: Ui{t) = sat{u{t)), Тx[t) + x[t) = Ui[t) (и

-    управление, sat(-) - функция насыщения; рис. 7.1). Очевидно, что не существует функции u(t) такой, что из начальных состояний {xq : |жо| < 1} система переводится в область

{жо : |жо| > 1}. □

Как указано в п. 1.1. состояние детерминированной системы характеризуется тем, что при заданном начальном состоянии х[іо) = Xq выход системы y{ti) однозначно определяется ее входом u[t) на промежутке Однако по отношению

к Xq, эта связь может быть не взаимно-однозначной: может

оказаться, что имеется множество различных состояний такое, что нри любом начальном состоянии из этого множества и для любого входного воздействия получаются одинаковые реакции.

Определение 3. Состояния и ж" называются эквивалентными, Xq ~ Xq^ если при любом входном процессе u{t) выходы системы при начальном состоянии x{to) = Жц и x{to) = ж" совпадают (рис. 7.2).

Определение 4. Система называется редуцированнощ если у нее нет различных эквивалентных состояний, т.е. каждое состояние эквивалентно только самому себе. Иными словами, для редуцированных систем при любом входе и любом начальном состоянии отображение вход-состояние-выход не только однозначно, но и взаимно - однозначно.

Определение 5 (управляемости). Линейная система (ЛС) полностью управляема (управляема)^ тогда и только тогда, когда для любых ж* и to существуют О < Т < оо и кусочнонепрерывное управление h = to + Т, такое, что при x{to) = о и управлении имеет место ж(^і) = ж*.

Замечание 1. Для линейных систем это означает, что каждое состояние достижимо из любого другого, т.е. управляемость для них эквивалентна сильносвязности.

Замечание 2. Если управляемая линейная система стационарна, то нонадание в х* можно обеспечить за любое заданное Т > 0.

В некоторых приложениях также представляет интерес управляемость по выходам, которая означает возможность приведения выхода объекта в заданную точку. В работе [93] приводится группа различных понятий управляемости, куда кроме указанного понятия относится также возможность приведения объекта из любой точки некоторой замкнутой области в произвольную точку этой области без выхода за ее границы, перехода из заданной области в область меньшей размерности и т. д.

Определение 6 (наблюдаемости). ЛС полностью наблюдаема (наблюдаема) тогда и только тогда, когда существует О < Т < оо такое, что при всех to, x{to),     (^і = to + T) можно по y[to^ti] и однозначно определить x{to).

Замечание 3. Для стационарной наблюдаемой Л С значение х{іо) можно определить за любое заданное Т > 0.

Замечание 4. Так как наблюдаемость, если она есть, должна быть и при нулевом входе, можно считать, что система наблюдаема, если для нее по уцо^іі] можно однозначно определить x{to) при u{t) = 0. Можно показать: это условие эквивалентно тому, что из y{t) = О при u{t) = О для всех t е [to,ti] следует: x{to) = 0.

Естественно, что для стационарных ЛС проверку условий управляемости и наблюдаемости можно выполнять не для всех to, а только для одного (например, = 0). ^

Наиболее сильной формой управляемости является норма- лизуемость (нормальность). Говорят, что система нормальна, если управляемость имеется по каждой компоненте вектора управления. Для систем со скалярным входным процессом управляемость и нормализуемость совпадают.

Возможен случай частично управляемой системы, у которой не все состояния достижимы из нулевого за конечное время. Пространство состояний таких систем может быть представлено как прямая сумма подпространств управляемых и

неуправляемых состояний. Аналогично пространство состояний частично наблюдаемой системы можно разбить на подпространства наблюдаемых и ненаблюдаемых состояний.

Определение 7. ЛС называется стабилизируемой, если у нее подпространство управляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Стабилизируемость означает принципиальную возможность получения устойчивой замкнутой системы: собственные движения неуправляемой части системы в этом случае устойчивы, а на неустойчивую подсистему можно воздействовать соответствующим управлением. Очевидно, что полностью управляемая система стабилизируема (так как у нее нет неуправляемых состояний). Устойчивая система тоже стабилизируема, так как у нее все пространство состояний является подпространством устойчивых состояний.

Определение 8. ЛС называется обнаруживаемой, если у нее подпространство неуправляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Полностью наблюдаемые, а также устойчивые системы обнаруживаемы.

Определение 9. Полностью наблюдаемая и полностью упраляемая линейная система называется невырожденной.