7.2. Критерии управляемости

Исследование управляемости линейных стационарных систем можно проводить на основе ряда эквивалентных критериев. Ниже даны некоторые критерии управляемости стационарных систем [3, 30, 83].

1. (Критерий Калмана). Матрица управляемости

размера

имеет полный ранг, ^ rankQy = п, где п - размерность пространства состояний системы. Как известно [47], подпространство управляемых состояний порождается столбцами матрицы Qy. Поэтому, если эта матрица имеет п линейно

независимых столбцов, все пространство состояний является подпространством управляемых состояний. Для SIMO- систем (со скалярным управлением, u{t) ETZ) матрица Qy квадратная порядка п и данный критерий означает требование невырожденности матрицы Qy : det Qy / 0.

2.   Не существует ни одной невырожденной матрицы Т, detT / О, такой, что система, полученная преобразованием подобия А = ТАТ~^, В = ТВ, имеет матрицы А, В вида

Такая структура матриц А, и В означает, что в соответствующем базисе вектор состояния х G TZ" можно представить в виде X = со1{жі,Ж2}, Хі G  Х2 G , п = Пі + П2, при

чем на компоненты вектора Х2 входное воздействие ни прямо, ни косвенно (через Хі) влиять не может. Следовательно, такая система неуправляема по вектору Х2- Множество векторов со1{0,Ж2І обазует подпространство неуправляемых состояний системы. Если это подпространство принадлежит подпространству устойчивых состояний (т.е. матрица Л22 - гурвицева), ^ то система стабилизируема (неуправляемые движения затухают)

В литературе уравнения с матрицами А ш В указанного вида иногда называются канонической формой управляемости [47, 174]. Структурная схема системы указанного вида приведена на рис. 7.3, а).

3.   Матрица В не принадлежит инвариантному подпространству матрицы А размерности, меньшей, чем п. ^ Если вектор-столбец В принадлежит инвариантному подпространству dimX"^ < п, то вектор фазовой скорости ѵ системы x{t) = Ax{t) + Bu[t) будет принадлежать при любом входном процессе, если начальное состояние Xq G Следовательно, точки вне этого подпространства недостижимы и

система не полностью управляема.

4.   Для любого многочлена D{s) = s" +

где  - заданные постоянные числа, найдется такая тхп-

матрица К, что det(sl„ — А + В К) = D{s).

Это свойство означает, что для полностью управляемой системы всегда имеет решение задача модального управления по состоянию - обеспечения заданных значений коэффициентов характеристического многочлена замкнутой системы с помош;ью регулятора в цепи обратной связи вида u[t) = —Kx[t). ^

5.   Не суш;ествует ни одной отличной от нуля матрицы С такой, чтобы передаточная функция W(s) = (7(sl — А)~^В тождественно (для всех s) равнялась нулю.

6.   Равенство Се^^В = О при всех t, ti < t < І2 для некоторого С возможно только при (7 = 0.

Функция веса (см. п. 6.2. с. 133) полностью управляемых систем с одним выходом обраш;ается в ноль на конечном интервале только в тривиальном случае (7 = 0.

Т    Т

7.   Выполнение соотношений А z = XqZ и В z = О для некоторого Хо G С и z возможно лишь при z = 0 [30, 83].

Отсюда, в частности, вытекает следуюш;ий критерий:

8.   Если пара [А, В) управляема, то для любой гпхп- матрицы К пара [А -Ь ВК, В) также управляема.

Таким образом, замыкание управляемой системы обратной связью по состоянию u{t) = Kx[t) при любой матрице К приводит также к управляемой системе.

9.   Если пара {А, В) управляема и s,- - произвольное собственное число матрицы А, то дефект d матрицы — Л не превосходит ранга матрицы В [30]. ®

В частности, если m = 1 (или если при m > 1 гапкі? = 1), то должно выполняться d = I, т.е. из управляемости пары {А, В) следует, что каждому собственному значению s,- отвечает лишь одна клетка канонической жордановой формы матрицы А.

10.  Для любых ti > to матрица

называемая грамианом управляемости, положительно определена.

Для доказательства предположим, что указанное условие выполнено [30], w{to,h)=w{to,hY > О для всех ti>to- Управление, переводяш;ее систему из состояния х{іо) = жо в

Т

состояние x{ti) = Хі будем искать в виде u{t) = В

где С - некоторый постоянный п-мерный вектор. Согласно

формуле Коши (6.9,с. 130) и в силу стационарности системы

или

где

По условию УѴ{Ѳ) > О, следовательно, det>V(0) /Он поэтому С = УѴ{Ѳ)~^ (хі —     . Окончательно, получаем выражение

для управления

Найденное таким образом управление решает задачу перевода полностью управляемой системы из любого начального

состояния x{to) = Xq в любое заданное x{ti) = Xi за указанный положительный промежуток времени Ѳ = ti — to для всех ti > to', следовательно, пара {А, В) управляема.

Заметим, что здесь приведено только доказательство достаточности положительной определенности W{to,ti) для полной управляемости системы. Необходимость этого условия, наряду с другими критериями доказывается [3, 30, 83].

Последний критерий можно использовать и для исследования управляемости нестационарных систем в следующей формулировке.

Линейная система (с переменными параметрами) x{t) = A{t)x{t) + B{t)u{t) полностью управляема тогда, и только тогда, когда для всех to существует ti, (to < ti < оо), что матрица

невырожденная (здесь Ф(^,г) - переходная матрица системы, см. п. 6.3).

Для SIMO-систем (u{t) ETZ, m = 1) имеются также следующие критерии полной управляемости.

11. Для любой другой управляемой пары {А, В) такой, что det(sl„ — А) = det(sl„ — А) существует единственная матрица преобразования Т, det Т/О такая, что А = ТАТ~^,

В = ТВ.

Матрица Т определяется формулой Т = QyQ~^, где Qy, Q~^ - матрицы управляемости систем {А, В) и {А, В) соответственно. В частности, любую полностью управляемую стационарную SIMO-систему (т = 1) можно преобразовать к каноническому управляемому представлению (см. п. 3.2.2.), в котором матрица А - сопровождающая для своего характеристического многочлена (матрица Фробениуса)

а пхі-матрица i? = [о, о,.. . , о, 1]^. ^

12.  Всегда найдется такая (1 хп)-матрица С, что передаточная функция

- несократимая дробь (т.е. не имеет общих нулей и полюсов и степень знаменателя W(s) равна п).

13.  Для любого заданного многочлена B{s) степени п —

1 всегда найдется такая (1 хп)-матрица С, что передаточная функция имеет вид (7.5).

Свойство 12 дает удобное достаточное условие полной управляемости систем со скалярным входом: если W(s) несократима, то система полностью управляема. Обратное может оказаться неверным.