7.3. Критерии наблюдаемости. Теорема дуальности

Для исследования наблюдаемости систем также имеется несколько эквивалентных критериев. В частности, по аналогии со свойством п.6 управляемости равенство = О при

всех t, ti, І2, ti < t < І2 возможно только при жо = 0. Следовательно, наблюдая за выходом y{t) = Cx[t) такой системы при нулевом входе, всегда можно определить, находится ли система в состоянии равновесия.

Другим критерием полной наблюдаемости является равенство гапк(5н = п, где п - размерность пространства состояний системы, <5н ^ матрица наблюдаемости, = [С^, ,... , размера пхпі. В частности, для MISO-

систем (/ = 1) матрица наблюдаемости должна быть невырожденной.

Анализируя указанные выше свойства, убеждаемся в справедливости теоремы дуальности Калмана, согласно которой из полной управляемости пары {А, В) следует полная наб- людаемсть пары [А ,В ), и, наоборот, из полной наблюдаемости пары [А, С) следует полная управляемость пары

,С^). Поэтому нет необходимости рассматривать все критерии полной наблюдаемости, достаточно в формулировках критериев управляемости произвести замену А на А и В на

сГ

Отсюда, в частности, получаем, что полностью наблюдаемую систему нельзя привести невырожденным преобразованием к виду

Данная пара матриц обладает тем свойством, что у соответствующей системы имеются компоненты вектора состояния, которые ни прямо, ни косвенно (через другие компоненты) не участвуют в формировании выходного процесса.

По аналогии со свойством управляемости уравнения с матрицами А и С указанного вида называются канонической формой наблюдаемости [47, 174]. Соответствующая структурная схема приведена на рис. 7.3, б).

Далее, для полностью наблюдаемой MISO-системы {y{t) G TZ) всегда найдется пх 1-матрица В такая, что передаточная функция W(s) = (7(81 — А)~^В - несократимая дробь со степенью знаменателя, равной п. Таким образом, нетрудно показать, что несократимость передаточной функции при т = I =

1 является необходимым и достаточным условием невырожденности SISO-систем.

В общем случае МІМО-систем невырожденность системы соответствует выполнению следующего условия для передаточных матриц [30].

Для любого собственного числа матрицы А существует такой минор M(s) матрицы W(s), что

где A(s) = det(sl„ — А) - характеристический многочлен матрицы А. Для SIMO и MISO-систем это свойство означает невозможность представления W(s) в виде отношения двух многочленов (матричного и скалярного) со степенью знаменателя меньшей, чем п. Певырожденность передаточной функции для SISO-систем вытекает отсюда как частный случай.

Проверку условия невырожденности МІМО-систем можно упростить, если воспользоваться следующим результатом [30].

Для полной управляемости системы [А, В) необходимо и достаточно, чтобы для любого корня 8і многочлена A(s) = det[sln — А) у матрицы W(s) нашелся бы такой минор M(s) порядка, равного дефекту d матрицы —Л), что выполнено

(7.6).

Замечание. Пусть г в = гапк(і?), г с = гапк(С'). Выше отмечено, что если хотя бы для одного корня s,- выполнено d > Гв, то система {А, В) неуправляема, а если d > Гс, то система {А, С) ненаблюдаема. Поэтому передаточная матрица W(s) может быть невырожденной лишь при d < Гв и d < Гс- Значит, условие (7.6) имеет смысл проверять лишь при выполнении указанных неравенств и для миноров M(s) порядка d. Если дефект d неизвестен, то (7.6) следует проверять лишь для миноров, порядок которых не превосходит тах{гд, Гс, Рі}, где рі - кратность корня s,- [30].

Подпространство ненаблюдаемых состояний системы представляет собой нуль-пространство матрицы , т.е. является множеством таких х, что Q^x = 0. Если система полностью наблюдаема, то это подпространство вырождается в точку ж = 0.

Для проверки нормальности системы следует воспользоваться критерием управляемости для матриц А, Ьі, где Ьі, г = 1,... , m - столбцы матрицы В.

Для проверки управляемости по выходам можно исследовать ранг матрицы L = [СВ, САВ,... , СА'^~^В] [88].

Рассмотрим пример преобразования частично наблюдаемой системы к канонической форме наблюдаемости. Для этого вернемся к описанной в п. 1.4.3. на с. 31 линеаризованной модели обраш;енного маятника.

Как отмечено на с. 94 в п. 3.2.4. матрица наблюдаемости <5н системы (1.18) вырожденная, следовательно, данная система не является полностью наблюдаемой. Приведем уравнения состояния маятника к канонической форме наблюдаемости. Воспользуемся описанной на с. 433 Приложения 3 процедурой obsvf пакета MATLAB [139].

Как указано в описании процедуры,

[АЬаг, ВЬаг, СЬаг, Т, К] = obsvf(A, В, С) возвраш;ает матрицы разбиения пространства состояний на подпространства наблюдаемых и ненаблюдаемых состояний. Если матрица наблюдаемости пары [А, С) имеет ранг

г < п, то находится преобразование подобия с матрицей Т такое, что АЬаг = ТАТ~^, ВЬаг = ТВ,СЬаг = СТ~^ и преобразованная система имеет вид ®

где пара [Ао,Со) - наблюдаемая и Co{sI — Ао)~^Во = C{sl — А)-^В.

В справедливости этого утверждения для данного примера можно убедиться с помощью следующей программы

-    формирование матриц уравнений состояния модели (1.18);

-    вычисление передаточной функции исходной системы;

-    преобразование к канонической форме наблюдаемости;

-    выделение наблюдаемой подсистемы;

-    вычисление матрицы наблюдаемости подсистемы (Ао, Со) и определителя этой матрицы.

В результате работы программы получены матрицы   

Получаем одинаковые (с точностью до сокращения на множитель s) передаточные функции, совпадающие с передаточной функцией исходной системы (3.15), приведенной в численном примере на с. 93. Матрица наблюдаемости