7.4. Задачи и упражнения

1. Доказать, что преобразование базиса не изменяет наблюдаемости и управляемости системы.

2.   Доказать, что собственные числа матриц Ац, А22 при переходе к (7.2) (с. 170) инвариантны относительно выбора матрицы преобразования Т [47].

3.   Доказать, что подпространство управляемых состояний системы (7.2), как и исходной системы, порождается собственными векторами (с. 81), соответствующими полюсам управляемости, т.е. собственным числам матрицы Ац в (7.2) [47].

4.   Сформулировать критерий управляемости для матричного дифференциального уравнения:

где X{t) - пхп- матрица решений; U{t) - гхт-матрица входов (управлений); А, В,С - пхп, D - тхп-матрицы параметров [3].

5.   Исследовать управляемость пары {А, В) при [3]

6.   Вычислить грамиан управляемости (7.3) УѴ(0,1) для системы x[t) + x[t) = u[t).

7.   Задача об обеспечении конечной длительности переходного процесса, [174]. Рассмотрим дискретную, полностью управляемую систему

Известно, что эта система может быть приведена в состояние равновесия не более, чем за п шагов. Найдем уравнения линейного регулятора в обратной связи.

а)   Пусть Q - матрица управляемости системы (7.7). Обозначим через г- г-ю строку матрицы Q~^, так что

Показать, что управление и[к\ = — к = 0,1,2,... , п —

1 приведет систему (7.7) в состояние равновесия за кратчайшее время.

б)   Обозначим К = . Показать, что обратная связь

и = —Кх приводит к такому же результату, что и управление п. 7.а.

в)   Замкнутая система описывается уравнением

Пусть все собственные числа матрицы А — В К равны нулю. Какова жорданова форма этой матрицы?

8.   Рассмотреть систему (7.7) с матрицами [174]

и

а)   Для Ві и і?2 исследовать управляемость системы.

б)   Для полностью управляемых систем найти управляю- ш;ую последовательность, которая приводит систему к нулевому состоянию из начального состояния ж[0] = ^ .

9.   Пусть все собственные числа s,- матрицы А системы x(t) = Ax(t) + Bu(t), u{t)ElZ, одинаковы и равны Л [174]. Показать, что система является полностью управляемой в том, и только том, случае, когда матрица А состоит из единственной жордановой клетки, а матрица В (в том же базисе) имеет ненулевой элемент в последней строке. Показать структурную схему для интерпретации полученного результата.

10.  Показать, что обратная связь по состоянию не нарушает управляемости, а именно, если система (7.7) полностью управляема, то полностью управляемой будет и система х[к -|- 1] = (Л — ВК)х[к] + Ви[к] [174]. (Указание: Прежде,

чем использовать ранговый критерий управляемости, обратиться к определению управляемости.)

11.. Пусть агрегированная система задана уравнениями

[174]

и выход y{t) - полностью наблюдаемый. Показать, что пара [Ац, А21) полностью наблюдаема. (Указание: для упрощения рассуждений можно показать полную управляемость дуальной системы, см. с. 174).

12. Рассмотрим две динамические системы [174]

где а - параметр.

а)   Исследовать устойчивость, управляемость, наблюдаемость систем .

б)   При последовательном соединении систем {w{t) = y{t)) получается система S3. Исследовать устойчивость, управляемость и наблюдаемость этой системы.

в)   При соединении с обратной связью получается система (см. рис. 7.4). Провести указанные исследования для этой

системы.