8.2. Наблюдатели состояния

Наблюдатель состояния (идентификатор состояния, наблюдающее устройство, наблюдатель) можно представить в виде модели объекта управления, на вход которой поступает то же управляющее воздействие, что и на объект управления и, кроме того, дополнительный сигнал коррекции (обратной связи). Этот сигнал получается из невязки между выходами объекта и модели (рис. 8.1).

Его влияние придает поведению модели качественно новые свойства (отличные от свойств объекта). Собственные движения модели и объекта оказываются различными, но переменные состояния модели служат оценками состояния объ-

екта. Для систем непрерывного времени наблюдатель описывается уравнением

Здесь x{t) G TZ" - вектор состояния наблюдателя, служащий оценкой состояния объекта; y{t) Е TZ‘ - вектор выхода; L{t)

- пх/-матрица коэффициентов обратной связи по невязке между выходами объекта и наблюдателя. Синтез наблюдателя заключается в выборе матрицы L{t).

Отметим, что мы рассматриваем наблюдатель, у которого размерность вектора состояния такая же, как и у объекта (так называемый наблюдатель полного порядка, или наблюдатель Калмана). Однако это условие необязательно: встречаются наблюдатели как пониженного порядка (см. ниже ’’наблюдатель Луенбергера”), так и повышенного порядка (адаптивные наблюдатели, см. п. 12.6.5.).

Для исследования работы наблюдателя рассмотрим ошибку оценивания e{t) = {x{t) — x{t)). Вычитая из (8.1) уравнение (8.3), получаем уравнение для ошибки

Как видно из этого уравнения, источниками ошибки e{t) являются начальное рассогласование £о = Xq — Xq, возмущение f{t) и помеха измерений v{t). Динамика переходного процесса ошибки e{t) определяется матрицей A„(t) = A{t) — L{t)C{t).

Исследуем поведение процесса e[t) для стационарного случая, когда матрицы А, В, С, L не зависят от времени. ^ Динамика переходного процесса в таких системах определяется корнями характеристического многочлена наблюдателя det(sl„—Лн), т.е. собственными числами матрицы А„ = A—LC. Если они имеют отрицательные вещественные части, а возмущения f[t) и шумы v(t) отсутствуют, то процесс оценивания асимптотически устойчив и е(^) —>■ О при t ^ оо для любых начальных значений Xq, Xq. Матрица А^ зависит от параметров объекта управления (матриц А, С ъ (8.1)) и матрицы L,

выбор которой определяется проектировщиком. Как следует из приведенных выше в п. 7.3. критериев, для полностью наблюдаемого объекта всегда имеется такая матрица L, что собственные числа матрицы будут заданными. Следовательно, выбором L можно обеспечить требуемое быстродействие процесса оценивания. При отсутствии сигнала коррекции [L = 0) динамика процесса оценивания полностью определяется динамикой объекта. В частности, для неустойчивых и нейтрально-устойчивых объектов асимптотическое оценивание было бы неосуществимо. Матрица А„, а следовательно и і>, влияет также на точность процесса оценивания при внешних воздействиях. Как видно из (8.4), это влияние оказывается разным по отношению к возмущениям f{t), с одной стороны, и помехам измерений v{t) - с другой. Поэтому при определении L следует учитывать характеристики внешних воздействий и обеспечивать компромисс между требованиями быстродействия и точности системы. Обычно повышение быстродействия связано с увеличением элементов матрицы L и, следовательно, с подавлением влияния возмущений и подчеркиванием действия помех измерения. Для более детального анализа можно использовать передаточные функции по ошибке от возмущений WJ{s) и помех VKJ(s), определяемые формулами

Оптимальный (в смысле минимума дисперсии ||е(^)||) выбор матрицы L при действии случайных возмущений и помех приводит к оптимальному фильтру Калмана-Бьюси [47].

Рассмотрим определение L из условий быстродействия.

Характеристический многочлен наблюдателя представим в виде

Коэффициенты а,- зависят от параметров объекта и матрицы L. Приравнивая их к заданным значениям, получаем систему п линейных алгебраических уравнений относительно

искомых п ■ I элементов матрицы L. При полной наблюдаемости объекта данная система имеет решение для любых А, С, аі (при I = 1 это решение единственно). Если измерению доступно несколько выходных переменных (/ > 1), то матрица L определяется неоднозначно. Следовательно, при выборе L можно учесть дополнительные требования по ошибкам от внешних воздействий и соответственно перераспределить коэффициенты передачи. Решение задачи синтеза можно выполнять алгебраическими методами с использованием специальных канонических форм уравнений состояния (см., например, [3]). Для определения желаемых коэффициентов характеристического многочлена (8.5) рекомендуется использовать стандартные формы, например биномиальную форму, или форму Баттерворта: [47, 76]

где параметр luq - среднегеометрический корень многочлена определяет быстродействие наблюдателя.

Для дискретного объекта управления (8.2) наблюдатель состояния описывается разностными уравнениями:

В стационарном случае его динамика определяется характеристическим многочленом det(2l„ — А^) = det(2l„ — А + LC), корни Zi которого из условия устойчивости должны быть по модулю меньше единицы. Свойства дискретного наблюдателя и процедура синтеза аналогичны изложенным выше для непрерывного случая. Заметим, что для (8.6) матрица L может быть выбрана из условия 2,- = О, і = 1,2,.. . ,п , что дает конечное время переходного процесса оценивания, не превы- шаюш;ее uTq, где п - порядок системы, Tq - интервал квантования. ®

Как отмечено выше, для построения систем оценивания, обладаюш;их заданными динамическими свойствами, требуется полная наблюдаемость объекта управления. Если для

объекта это свойство не выполняется, но он является обнаруживаемым (см. определение 8 в п. 7.1.) то устойчивость процесса оценивания может быть обеспечена, однако нельзя получить произвольное заданное расположение корней многочлена (8.5).