8.3. Наблюдатели пониженного порядка

Выше рассматривались так называемые наблюдатели полного порядка, или наблюдатели Калмана, размерность вектора состояния которых совпадает с порядком уравнений объекта и равна п. Можно уменьшить порядок наблюдателя, используя непосредственно содержаш;уюся в выходных переменных информацию о состоянии объекта. Это дает возможность построить алгоритм оценивания порядка п — р, где р = rank С (обычно р = /.) Такие идентификаторы состояния называются наблюдателями пониженного порядка, или наблюдателями Луенбергера [3, 174].

Рассмотрим стационарный полностью наблюдаемый объект, уравнения которого имеют вид

Пусть ранг |)хп-матрицы С равен р.

Для упрош;ения вида уравнения выхода выполним преобразование базиса в (8.7). Выберем произвольную [п —р)хп- матрицу V так, чтобы матрица

была невырожденной. Последнее всегда возможно, так как rank С = р. Введем теперь новый вектор состояния x{t) = Тx[t) и представим его в виде

где w(t) G    y(t) G 7Z^, т.е. выходы объекта совпадают в

выбранном базисе с последними р компонентами его вектора состояния. Выполнив преобразование базиса с матрицей Т, перейдем к уравнениям состояния

Из этой системы можно выделить подсистему порядка п — р с известными (доступными измерению) входами Более того, для этой подсистемы всегда можно обеспечить заданные коэффициенты характеристического многочлена.

Для этого умножим второе уравнение в (8.8) на произвольную {п — р) х|)-матрицу Е и сложим полученное выражение с первым уравнением. Получим

Это выражение можно переписать в виде  Введя v(t) = w(t) — Ey{t), получим

Здесь v{t) - неизмеряемый вектор состояния, в то время как u{t), y[t) измеряются. Введем наблюдатель, уравнение которого в точности повторяет уравнение для v[t), а именно

Как и выше, вычитая (8.9) из (8.10), найдем уравнение для ошибки оценивания v[t) — v[t) :

Из полученного уравнения следует, что v[t) — v[t) —>■ О, причем динамика ошибки определяется собственными числами матрицы Ац — ЕА^і-

Получив оценку вектора v[t), нетрудно перейти к оценке всего вектора состояния как в каноническом (8.8), так и в исходном базисе. Оценки w[t)^ y[t) вектора x[t) получаются в виде

Обратным преобразованием с матрицей Т~^ получаем оценку x[t) вектора состояния системы (8.7).

Качество полученной оценки состояния в значительной степени определяется матрицей Ац — ЕА^і- Можно показать (см. задачу п. 11 на с. 180), что если исходная система (8.8) полностью наблюдаема, то этим же свойством обладает и пара {Ац,А2і). Следовательно, могут быть обеспечены произвольно заданные значения коэффициентов характеристического многочлена наблюдателя путем подходящего выбора матрицы Е.

Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Балансировка стержня. Рассмотрим задачу стабилизации стержня в вертикальном положении ([174]). ® Пусть стержень имеет длину I и вся масса сосредоточена на его верхнем конце (т.е. рассматривается обращенный математический маятник). Уравнение динамики стержня относительно угла отклонения от вертикали согласно закону Ньютона, имеет вид

где д Кі 9.81 - ускорение свободного падения; u{t) - управляющее воздействие - горизонтальное перемещение основания стержня (рис. 8.2). Кроме того, выполнено геометрическое соотношение

Выполняя линеаризацию относительно вертикального состояния равновесия, приведем уравнения (8.11), (8.12) относительно x{t) к виду

Введем горизонтальную скорость перемещения v(t) = x(t). Отсюда получим уравнения состояния системы

Матрица управляемости равна

Так как det(5 7^ О, то рассматриваемая система полностью управляема и при наличии полной информации о векторе состояния может быть стабилизирована обратной связью.

Обратимся теперь к задаче оценивания состояния. Пусть измеряется только отклонение x{t) (u{t) также считается известным). Уравнение выхода тогда имеет вид y{t) = [О, 1]ж(^), где y{t) - измеряемый выход объекта. Матрица наблюдаемости

Таким образом, рассматриваемая система является и полностью наблюдаемой (следовательно - невырожденной). Идентификатор полного порядка (8.3) для нее будет описываться уравнениями

Здесь /і, /2 - параметры наблюдателя, выбор которых выполняется по заданным значениям коэффициентов характеристического многочлена det(sl — А^) = -Ь I2S -Ь g[li — 1)/“^.

Идентификатор (8.13) использует измерения  для по

лучения оценок Если не ставить задачу фильтра

ции шумов измерений, то вторая оценка является лишней и можно уменьшить порядок алгоритма оценивания, используя наблюдатель Луенбергера (8.10).

Заметим, что в рассматриваемом примере уравнения объекта уже имеют требуемую каноническую форму (8.8) и преобразования базиса выполнять не надо, а можно сразу записать уравнения наблюдателя (8.10). В данном примере матрицы (скалярные коэффициенты) Ац = А22 = О, А21 = 1,Аі2 = дІ~^, Bi = —gl~^, поэтому (8.10) принимает вид

Здесь е - подлежаш;ий выбору параметр наблюдателя. Получим характеристический многочлен

det(sl — Лн) = S + еІ~^. Поэтому е = —«і/, где Si - требуемое значение корня характеристического многочлена наблюдателя.

В работе [3] синтез наблюдателей Луенбергера рассмотрен более детально. Приведем (устраняя некоторые име- юш;иеся в [3] опечатки) описанную там процедуру синтеза [п — 1)-мерных наблюдателей для систем со скалярным выходом (точнее, при rank С* =1).

Алгоритм состоит из следуюш;их шагов.

1.   Уравнения состояния системы (матрицы А, В, С) невырожденным преобразованием приводим к виду ПКИ (см. с. 77, а также пункт ”г” задачи 2 на с. 97).

2.   Задаемся желаемыми коэффициентами /3,- характеристического многочлена наблюдателя

(det І„_іЛн) = s" ^ -Ь /?is" 2

3.   Строим матрицу преобразования Р вида

Нетрудно заметить, что если матрица Л приведена к виду

ИКП, то в результате преобразования получим

и также

4. Из матрицы А выделим подматрицу А порядка п — 1, расположенную в верхнем левом углу матрицы А, а также первые п-1 строк матрицы В, из которых образуем матрицу (вектор-столбец) В. Обозначим п — 1 верхние строки последнего столбца матрицы А через а„.

Запишем уравнения наблюдателя Луенбергера:

Для вычисления оценки вектора состояния в исходном базисе (считаем, что исходная система уже имеет вид ИКИ), сформируем вектор x(t) = col{x(t),y(t)j. Оценка состояния в базисе ИКИ тогда получается по формуле x(t) = F~^x(t).