8.4. Оценивание возмущений

Как видно из (8.4), неизмеряемые внешние воздействия (воз- муш;ения и помехи) приводят к появлению дополнительных составляюш;их ошибки оценивания переменных состояния и снижают точность системы управления. Уменьшить влияние возмуш;ений можно, если выполнять, наряду с оцениванием состояния объекта, также идентификацию неизмеряемых внешних воздействий.

Основная идея использования наблюдателей для оценивания возмуш;ений и помех измерения состоит в следуюш;ем.

Для внешних воздействий, как и для объекта управления, строится некоторая математическая модель модель внешней среды”, или ” internal model of disturbances”). Согласно

этой модели, возмущения представлются как решения системы однородных дифференциальных (или разностных) уравнений с известными коэффициентами и неизвестными начальными условиями. В этих начальных условиях и содержится вся неопределенность относительно внешних воздействий. ^ Таким образом, возмуш;ения и помехи представляются, как выходы некоторой автономной динамической системы с заданными уравнениями и неизвестным начальным состоянием. Затем модель внешних воздействий объединяется с моделью объекта управления и для полученной расширенной системы строится наблюдатель. Полученные с помош;ью него оценки содержат как собственно оценки состояния объекта, так и оценки внешних воздействий ®.

Подход к синтезу систем управления на основе постулирования динамических моделей для отдельных подсистем и сигналов в настояш;ее время нашел широкое применение и называется ” принципом внутренних моделей” internal model principle”). Для построения эффективных алгоритмов проектирования, оценивания, управления системами модели в виде уравнений состояния могут задаваться не только для возму- ш;аюш;их воздействий, но и для помех измерений, командных сигналов эталонные модели”), динамики изменения параметров объекта и т.д. ®

Достаточно просто процедура синтеза выглядит, если внешние процессы можно представить как квазимногочлены - вы-

N

ражения вида  , где Хі Е С - известные постоянные,

і=1

Pi{t) - многочлены с заданными коэффициентами. Сюда относятся степенные функции, гармоники с заданной частотой, экспоненты с заданным показателем затухания, произведения гармоник на экспоненты и линейные комбинации этих функций. Моделями источников таких процессов являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим процедуру оценивания для этого случая

более подробно.

Пусть внешние воздействия f{t), v{t) можно представить в виде выходных процессов линейной системы, заданной уравнениями

Здесь Xg{t) G 7^"“’ - вектор состояния ’’среды”, y.,{t) G - выход модели источника возмуш;ений - вектор внешних по отношению к объекту воздействий; y.,{t) = col{f{t),v{t)},

■ Qf

Ag,Cs - известные матрицы, = J ] Сf, Су - подма-

L J

трицы размеров пхп^, Іхп,,, определяюш;ие связь между состоянием Xg{t) модели внешних воздействий и возмуш;ениями f{t), помехами v{t) в (8.1). Начальное состояние х,,^ системы (8.15), как и (8.1), считается неизвестным. Введем расширенный (’’совокупный”) вектор состояния объекта и среды x{t) = (x{t), Xg{t))   Объединяя уравнения (8.1), (8.15),

получим уравнения расширенной системы в виде

в которых матрицы А, В, С имеют следуюш;ую блочную структуру:

Расширенная система (8.16) рассматривается как некоторый новый объект порядка п = п + п^, для которого строится наблюдатель (8.3).

Проиллюстрируем изложенное на примере.

Рассмотрим упрош;енную модель углового движения искусственного спутника Земли (ПСЗ) по крену

где Jx - момент инерции ПСЗ относительно продольной оси, "f{t) - угол крена, u[t) - управляюш;ий момент, M[t) - воз- муш;аюш;ий момент. Пусть доступна измерению угловая скорость крена LJx{t) = т(0- Значения u{t) также считаются известными. Подлежит оцениванию неизмеряемый момент воз- муш;ений M{t). Будем полагать его линейной функцией времени M[t) = Мо + Vt, причем Мо, V - неизвестные величины.

Этот процесс можно представить как решение системы однородных дифференциальных уравнений

с неизвестными начальными условиями М(0), Ѵ^(0). Введем вектор состояния системы ’’объект - среда” x{t) =  M(t),

V{t)] . Выход системы y{t) = Таким образом, приходим

к уравнениям состояния вида (8.16), в которых

Обратимся к синтезу наблюдателя. Наблюдатель полного порядка (8.3) для системы (8.17), (8.18) имеет размерность п = 3. Неременные состояния наблюдателя   Xi{t), Xi{t)

служат оценками переменных   M[t), V[t] соответствен

но. Для определения трехмерного вектора параметров L наблюдателя найдем характеристический многочлен det (sis ~

Л + LC) = -Ь /is^ -|-   Приравняв его к стандартному

X    X

многочлену Баттерворта

^h(s) = + 2^0«2 -|- 2^0S + Г^о, получим выражения для іі : /і = 2^0, h =     /3 = Jx^- Параметр Qq задает бы

стродействие наблюдателя. Время переходного процесса составляет примерно 5/^0. В развернутой форме уравнения наблюдателя (8.3) принимают в данном случае вид

Для иллюстрации на рис. 8.3 (сплошная линия) приведены результаты моделирования системы (8.17), (8.20) при следу- юш;их значениях параметров объекта и воздействий:

J^=54.3 кг-м^, М(0)=0.25 Нм, V = 5 ■ 10“^ Нм/с. Выбрано По=0.5 1/с.

Для моделирования использована следующая MATLAB- программа

Программа моделирования наблюдателя состояния и возмущений для ПСЗ по Калману.

д

-    задание начального расширенного вектора х = co\{j^, М, V};

-    ввод матриц А, В, С уравнений состояния расширенного объекта;

-    ввод значения Qq и вычисление коэффициентов обратной связи 5 ^2 ) і

-    формирование матриц уравнений (8.20);

-    формирование матриц объединенной системы (8.17), (8.20);

-    задание начального состояния системы (8.17), (8.20);

-    задание интервала моделирования и формирование входного воздействия;

-    моделирование;

- вывод графиков.

Рассмотрим теперь использование для решения этой задачи наблюдателя Луенбергера (см. 8.3. с. 187).

В качестве исходной модели объекта возьмем уравнения расширенной системы (8.17), (8.18) с матрицами (8.19). Согласно изложенному на с. 191 алгоритму, уравнения состояния системы сначала приводятся к виду ИКП. Для этого, в соответствии с обш;ей формулой (3.13) (см. с. 88, 3.2.3.) строятся матрицы А, С требуемого канонического вида. Получим

Найдем матрицы наблюдаемости Q исходной системы и Q - системы вида ИКП, откуда получим матрицу преобразования Т:

Выберем желаемый вид характеристического многочлена наблюдателя в форме многочлена Баттерворта второго порядка Лн(в) = «2 + ^/2Qqs + Ql, где параметр Qq задает быстродействие наблюдателя. Тогда /?і = \/2^^о, 1^2 = ^о-

Построим матрицу преобразования Р к указанному в п. 8.3. каноническому виду

 

Теперь построим матрицы

Из матрицы А подматрицу А второго порядка, а также выделим первые две строки матрицы В, из которых образуем вектор-столбец В. Получим

Приходим к уравпепиям наблюдателя второго порядка

Далее сформируем вектор x{t) =    Для получе

ния оценки состояния в исходном базисе (8.17), (8.18) найдем матрицу обратного перехода Т5 - сначала от х к х, затем - к х:

Вектор x{t) = Tbx{t) содержит оценки  M[t) uV{t). В

явном виде оценка процесса возмущений выражается соотношениями

Совокупность уравнений (8.21), (8.22) описывает наблюдатель Луенбергера для рассматриваемой задачи.

Вычисления для данного примера с выводом результатов в символьном (а не только в числовом) виде могут быть выполнены с помощью следующей программы пакета MATLAB [82].

Программа моделирования наблюдателя состояния и возмущений для ПЗС но Луенбергеру

-    описание символьных переменных

-    формирование символьных матриц (8.19);

-    формирование матриц А, С]

-    вычисление матриц наблюдаемости;

-    вычисление матрицы преобразования Т и матрицы В]

-    определение значений /?і, /?2

-    формирование матрицы Р;

-    вычисление матриц А, Л;

-    формирование матриц а,Ъ]

-    вычисление матрицы Т5

-    ввод числовых значений

-    подстановка числовых значений и перевод символьных матриц в числовые;

-    формирование в символьной форме матриц уравнений состояния единой системы объект-модель-среда-наблюдатель;

-    перевод матриц из символьной в числовую форму;

-    формирование системы,заданной в форме уравнений состояния (см. [82]);

-    задание интервала и шага моделирования, входного воздействия и начальных условий;

-    моделирование системы и вывод графиков процессов.

Результаты моделирования показаны штрих-пунктирной линией на рис. 8.3

Выше рассмотрена процедура синтеза наблюдателей, основанная на задании требований к динамике процесса оценивания. Часто при синтезе следует также учитывать влияние неизмеряемых внешних возмуш;ений на точность получаемых оценок. Синтез наблюдателей полного порядка, при котором достигается минимизация дисперсии ошибки оценивания при случайных внешних воздействиях (оптимальных фильтров Калмана-Бьюси), рассмотрен, например, в [8, 47, 88].