9.2.  Модальное управление по состоянию объекта

Рассмотрим вначале решение этой задачи при полном измерении вектора состояния объекта. Для простоты изложения будем также предполагать, что управление скалярное, u{t) еЛ.

Пусть динамика объекта управления описывается уравнением

Вектор состояния x{t) объекта (9.1) считаем доступным измерению. Рассмотрим закон управления вида

где К - подлежаш;ая определению пх/-матрица коэффициентов регулятора (в нашем случае m = 1). Замкнутая система объект-регулятор описывается уравнением

Ставится задача определения коэффициентов регулятора (элементов матрицы К) таких, что характеристический многочлен det(sl„ —Л-Ьі?А') = D{s) = s” + dis”~^ + .. . + d„-i + d„ имел заданные коэффициенты di. Принципиальная возможность решения этой задачи для полностью управляемых объектов следует из указанного в 7.2. свойства 4. ^

Рассмотрим процедуру синтеза более подробно.

Предположим вначале, что уравнения (9.1) соответствуют управляемому каноническому представлению, т.е. матрицы Л, В имеют вид

det(sl„ — А) = s" -Ь ais”~^ h «п- При использовании регулятора (9.2) с матрицей К = [кі,к2,... ,к„], как легко убедиться непосредственной подстановкой, матрица А — ВК замкнутой системы (9.3) также имеет вид матрицы Фробениуса и ее характеристический многочлен det(sl„ — А + ВК) =

= s" -Ь (яі -Ь k„)s'^~^ -Ь ... -Ь (а„_і -Ь k2)s + а„ + кі. Приравнивая коэффициенты зтого многочлена заданным значениям di, сразу получаем выражения для параметров регулятора:

Пусть теперь уравнения состояния системы записаны в произвольном, а не в каноническом базисе. По-прежнему предполагаем полную управляемость объекта (9.1). В этом случае, согласно свойству 8 управляемых систем (см. п. 7.2.), имеется матрица Т преобразования подобия, приводя- ш;ая уравнения состояния к указанному каноническому виду.^

Следовательно, полагаем, что матрицы А = ТАТ^, В = ТВ имеют вид (9.4), причем det(sl„ — А) = det(sl„ — А). Найдем для системы [А, В) коэффициенты модального регулятора К по формуле (9.5). После этого выполним переход к исходному базису. Для этого заметим, что поскольку x[t) = Tx{t), то u[t) = —Kx(t) = —KTx(t) = —Kx(t), если

Таким образом, для полностью управляемой системы со скалярным управлением получен алгоритм решения задачи модального управления. Этот алгоритм включает:

-    вычисление коэффициентов характеристического многочлена системы;

-    вычисление матрицы преобразования к канонической форме (если исходные уравнения имеют неканонический вид);

-    вычисление коэффициентов регулятора по формулам (9.5), (9.6).

Вместе с тем здесь содержится доказательство того, что для полностью управляемых систем (со скалярным управлением) свойство 4 выводится из свойства 11. Отметим также, что в силу дуальности задач управления и оценивания изложенный здесь метод применим и в рассмотренной в п. 8.2. задаче синтеза наблюдателя состояния. Более подробные сведения по этому вопросу приведены в [3].

Определение значений желаемых полюсов замкнутой системы является самостоятельной задачей, решение которой связано с предъявляемыми к системе требованиями.

Изложенные в настояш;ем параграфе результаты непосредственно переносятся на решение задачи модального управления для дискретных систем. Для стационарных дискретных систем имеется возможность получить конечное время переходного процесса. Это обеспечивается выбором характеристического многочлена замкнутой дискретной системы с нулевыми коэффициентами, что дает время переходного процесса, не превышаюш;ее п шагов дискретности.