9.5.2. Возбуждение колебаний в цепочке осцилляторов

Рассмотрим систему, состоящую из последовательности осцилляторов (например, маятников), соединенных упругими связями. Такая модель используется для описания различных физических и механических систем [52, 162]. В отсутствии сил трения и при линейных упругих деформациях связей (в области действия закона Гука) цепочка N маятников описывается системой уравнений

где <~pi{t) (г = 1,2,...,ІѴ) - углы поворота маятников; u[t) - внешнее управляющее воздействие, пропорциональное моменту, приложенному к первому маятнику; ш,к - параметры системы {ш - собственная частота малых колебаний маятников, к - коэффициент жесткости пружин).

Далее будем использовать линеаризованную модель, предполагая, что амплитуда колебаний маятников незначительна. Такая модель имеет вид

Введем вектор состояния x(t) x{t) = col{i,£?i, фі, ф-2, ■ ■ ■ ,

LpjM,     B стандартной форме уравнений состояния

x(t) = Ax[t) + Bu[t) модель (9.25) задается матрицами

л - г о л - Г О    л - Го О

^ ~ [-си^ - к 0\’ '^~[-си^-2к 0\’ ^'^~[к oj ’

Т

5і = [0 1] .

Рассмотрим задачу возбуждения ’’волны” колебаний заданной амплитуды, при которых соседние маятники находятся в противофазе. При этом ограничимся требованием приведения их в это состояние за заданное время из любого начального состояния. Для ее решения воспользуемся изложенным в п. 9.4. методом. Управление будем искать в виде программной функции времени (9.13).

Результаты решения задачи для 7Ѵ=10,Аг = 5с = 0.4тг с-1, ^,(0) = О, ^,(0) = О (г = 1,2,...,7Ѵ), Ѳ = 50 с, ^,{Ѳ) = (_1)*+і . 30 град., фі{Ѳ) = О показаны на рис. 9.4, 9.5. Па первом изображены последовательности положений маятников в разные моменты времени (отмечены цифрой внизу). Па втором 9.5 показаны графики углов поворота ѵ^э(0,    и

управляюш;ее воздействие u{t) на промежутке t G [30,50] с. Заметим, что в данном примере (как и в обш;ем случае) приведение системы в заданное состояние не означает, вообш;е говоря, что она останется в этом состоянии и дальше или будет совершать предписанное движение. Если из полученного состояния х{Ѳ) построить управление, переводяш;ее систему в это же состояние к моменту t = Ѳ + А, (А > 0), то получим колебания сложной формы, симметричные относительно середины интервала [^?, ^? + А].

Для вычислений используем следующую программу.

MATLAB-программа моделирования процесса возбуждения

волны колебаний

-    ввод параметров Аг,а> и числа маятников ІѴ;

-    обнуление массивов начального и конечного состояний

-    ввод

-    ввод амплитуды колебаний;

-    ввод нулевых элементов матрицы А]

-    формирование матрицы В]

-    формирование матрицы Аі]

-    начало цикла формирования матрицы А и вектора Хі]

-    формирование последовательности ( — 1)*;

-    конец цикла формирования матрицы Л и Жі;

-    формирование матриц С* = І2 и D = О для моделирования по Isim(см. Приложение С. с. 431);

-    вычисление Ѳ = ti — to',

-    формирование начальных условий іи{0) = В и входного воздействия u{t) =0 для вычисления функции веса w{t)',

-    вычисление uj(t)',

-    начальноеобнуление массива для грамиана УѴ{Ѳ)',

-    вычисление УѴ{Ѳ) методом Эйлера;

-    вычисление С но формуле (9.20);

-    цикл формирования программного управления по формуле (9.13);

-    моделирование системы (вывод графиков выполняется стандартным образом).