1.4-1. Электротехнические устройства

Пример 1. RC-цень. Рассмотрим систему, состояш;ую из последовательно соединенных емкостного элемента С и резистора с сопротивлением R (рис. 1.3, а). Входным процессом

считаем напряжение u{t) от внешнего источника, приложенное к зажимам цепи. Рассмотрим следующие два случая.

1.   Выход системы - напряжение Uc{t) на зажимах емкостного элемента.

RC-цень описывается уравнением

Введем Т = RC - постоянную времени цепи и примем x{t) = Uc{t). Выразив из (1.12) значение x{t)^ получим уравнение состояния вида (1.3), в котором п = 1, А = —Т~^, В = Т~^, (7=1. Матрицы порядка 1x1 обычно отождествляются со скалярными элементами, поэтому при их записи квадратные скобки опускаются. Найденные уравнения соответствуют собственной системе.

2.   Выход системы - напряжение   на зажимах рези

стора.

Уравнение состояния (для x{t)) имеет тот же вид. Изменяется уравнение выхода, так как теперь y{t) = uji{t) = u{t)— Uc{t) = u{t)— x{t). Поэтому данная система не относится к строго реализуемым и имеет матрицы А = —Т~^, В = Т~\ С=-1, D = l.

Пример 2. Колебательный контур (RLC-цень). Запишем теперь уравпепия состояния колебательного контура, вклю- чаюш;его последовательно соединенные R, L, С-элементы (рис.

1.3, б). Выходным сигналом y{t) будем считать напряжение на зажимах индуктивного элемента   а входом, как и в

предыдуш;ем случае, - падение напряжения на всей цепи u{t).

Как известно из электротехники, выполнены соотношения

UYi{t) =  u{t) = ui^{t)+Uc{t)+UYi{t), где i{t) - сила тока в це

пи, Uc{t) - напряжение на зажимах емкостного элемента, Wr(^)

- падение напряжения на активном сопротивлении. Определив вектор состояния x{t) = [i{t),uc{t)]^ и выход y{t) = получим следуюш;ую систему уравнений:

Следовательно, в рассматриваемом примере п = 2, т = I = I и уравнения состояния (1.2) содержат матрицы

Пример 3. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Рассмотрим линеаризованные уравнения электрического двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 1.3, в). Пусть обмотка возбуждения двигателя создает постоянный магнитный поток, управление осуш;ествляется изменением электродвижуш;ей силы источника в якорной цепи e{t). Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем. Входными воздействиями считаем e{t) и приведенный момент нагрузки на валу двигателя M{t). Выходами системы считаем угол поворота ротора a{t) и ток в якорной обмотке i{t). Динамику системы можно описать сле- дуюш;ими уравнениями [15, 76]:

Здесь обозначены: L, R - индуктивность и активное сопротивление якорной цени, J - приведенный момент инерции ротора, (7е, См - постоянные, зависящие от конструктивных параметров двигателя и величины потока возбуждения.

В данном примере п = 3, т = I = 2. Введем вектор состояния так, чтобы его компоненты соответствовали значениям a{t), i{t), cu{t) : x{t) = [а(^), i{t),     . Аналогично опре

делим вектор входа u{t) = [e(t), M{t)Y и вектор выхода

y{t) = [а(^), . Как легко убедиться, уравнения (1.14)

принимают вид (1.3), в которых