§ 2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО РАВНОВЕСИЯ

Обозначим через е количество энергии, вырабатываемое в секунду единицей массы звездной материи. Величина е может зависеть от физических условий состояния материи и, таким образом, является функцией г. Изучение е и составляет цель нашего исследования. Условие теплового равновесия или условие энергетического баланса может быть записано следующим образом:

где F — полный поток энергии, состоящий из потока лучистой энергии FR, потока, переносимого конвекционными токами Fc, и потока теплопроводности FT- Таким образом,

Определим в первую очередь значение FR. Изменение интенсивности излучения / при прохождении слоя толщиной ds согласно закону Кирхгофа имеет следующее выражение:

где у. — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и Е— излучательная способность абсолютно черного тела при температуре слоя, рассчитанная на единицу телесного угла со. Это последнее уравнение в полярных координатах будет иметь вид

здесь 8 — угол, образованный нормалью к слою, т. е. г, с направлением излучения /. Поток FR и лучевое давление В связаны с / следующими соотношениями:

где с — скорость света, и интегрирование производится по всем телесным углам. Обозначим далее

Умножая (1.12а) на cosG и интегрируя по da>, имеем

Для получения отсюда FR примем следующее приближение Эд-дингтона (Eddington):

равносильное отбрасыванию производных более высоких порядков в выражении Fr. Тогда

Рассмотрим теперь конвективный поток Fc. На поверхности Солнца и звезд мы видим проявление бурной конвекции. Возможно, что эта конвекция вынужденная, связанная с внезапными выделениями энергии. Но для того чтобы конвекционные токи могли создать значительный поток Fc, они должны обладать большими скоростями и переносить энергию на большие расстояния. Эти условия будут осуществляться в зонах конвективной неустойчивости, где возможно развитие свободной конвекции. Начиная с Шварцшильда (Schwarzschild) [2], работами целого ряда астрофизиков: Унзольда (Unsold), Коулинга (Cowling), Бирмана (Bierman) и других — было показано, что хотя равновесие звезды, вообще говоря, устойчиво, развитие свободной конвекции действительно возможно в зонах быстрого нарастания источников энергии или в зонах, где энергия ионизации порядка тепловой энергии газа.

Будем считать, что конвекционные токи радиальны. Обозначим через Q полную энергию единицы массы конвекционного тока. Следовательно, Q представляет собой сумму внутренней энергии газа, тепловой функции, потенциальной и кинетической энергии. Допустим, что в пути конвекционный ток не меняет своей энергии, т. е. изменяется адиабатически, а диссипация энергии происходит лишь при остановке тока. Тогда поток энергии, переносимый конвекцией, согласно Шмидту (Schmidt) [3] может быть представлен следующим образом:

Величина А представляет собой коэффициент конвекции; к —

средняя длина пробега конвекционного тока и v — средняя скорость тока. Если лучевым давлением можно пренебрегать в сравнении с газовым, то для идеального газа согласно первому началу термодинамики

или

где cv — теплоемкость газа при постоянном объеме и ср — теплоемкость при постоянном давлении:

Обозначая  имеем

В результате очевидных преобразований находим следующее выражение:

для одноатомного газа Г = 5/з.

Поток теплопроводности имеет аналогичное выражение вида (1.17). Поскольку частицы двигаются во всевозможных направлениях, вместо v в выражении для А будет стоять одна треть средней скорости движения частиц. В данном случае dQ/dr будет равняться лишь первому члену формулы (1.18) и, следовательно, иметь значение того же порядка, что и для конвекции. Имея в виду формулу (1.17) для А, очевидно, что Fc в подав-ляЕОщее число раз превосходит FT. Только в некоторых исключительных случаях, например для вырожденного газа, FT может иметь существенное значение. Используя формулы (1.10), (1.16), (1.17) и (1.21), получим следующее уравнение теплового равновесия:

В заключение настоящего параграфа необходимо заметить, что поскольку е представляет собой весьма малую величину в сравнении с излучением единицы массы, то ничтожные изменения состояния материи должны привести к нарушению наших равенств. Поэтому даже для больших областей, сравнимых с размерами звезды, условие (1.10) теплового баланса может не соблюдаться. То же относится и к выражению теплового потока конвекции, ибо только для очень больших площадей можно статистически трактовать грандиозную конвекцию звезд. Поэтому полученные уравнения следует понимать как усреднение по всем радиусам звезды и за большой промежуток времени, и в этом смысле они должны обязательно выполняться. Указанные ограничения не мешают нашему анализу, поскольку нас будет интересовать общее представление о поведении звезды как целого и в ряде случаев лишь как среднее из большого числа звезд.