§ 3. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Чтобы фиксировать внимание на основном, начнем с рассмотрения полученных уравнений равновесия для простейшего случая, а именно: в уравнении механического равновесия будем пренебрегать лучевым давлением В в сравнении с газовым р, а в уравнении теплового равновесия — конвекционным членом. Тогда мы получим следующую основную систему:

В зависит только от температуры газа согласно формуле (1.7). Коэффициент поглощения единицы массы х зависит, вообще говоря, от (р, В). Эта зависимость нам неизвестна. То же относится и к е. Допустим теперь, что эти функции нам известны. Тогда для решения системы необходимо иметь еще уравнение состояния материи, связывающее переменные: р, р и В. В этом случае остаются две функции, например р и В, зависимость которых от г полностью определится уравнениями (I). Эти функции должны удовлетворять следующим граничным условиям. На поверхности звезды полный поток энергии Fo = FR„; [Fc =

= FT = 0). Приближенно по формуле (1.13)

откуда при помощи формулы (1.16) находим следующее условие на поверхности:

Из уравнений (I) видно, что условие конечности решений при г = 0 равносильно следующим:

Эти условия в центре звезды совершенно необходимы и безусловно выполняются в реально существующем теле. Теория внутреннего строения звезд проф. Милна (Milne) [4], основанная на решениях, не удовлетворяющих этим условиям, не означала, разумеется, отказа от этих условий для центра звезды. В слоях звезд, удаленных от центра, эти особые решения могут действительно осуществляться, но лишь в том случае, когда производные физических характеристик материи не являются непрерывными функциями расстояния, а имеют разрывы. Следовательно,

рассмотрение таких решении a prion допускает, что уравнение фазового состояния материи имеет разрыв, т. е. что материя существует в звезде по крайней мере в двух совершенно различных фазах. Только таким путем, наделяя материю гипотетическими свойствами, можно было прийти к наличию внутри звезд областей особо высоких температур и давлений. Если же не руководствоваться предвзятой точкой зрения о существовании в звездах «особенных» областей, то представляется наиболее естественным начать рассмотрение задачи при помощи обычных уравнений фазового состояния материи.

Произведем теперь весьма важное преобразование переменных в системе (I). Вместо г и других переменных введем безразмерные величины с соответствующими граничными условиями. Обозначим значком с значения функций в центре звезды (г = 0). Вместо г введем безразмерную величину х согласно формуле

и введем функции

Тогда, как легко проверить, система (I) преобразуется к виду  где

Все входящие в систему (1а) функции заключены в пределах 0,1. Условия в центре будут иметь вид

На поверхности звезды вместо (1.23) практически мы можем пользоваться простым условием

Напишем теперь в новых переменных систему основных уравнений с учетом конвекции. Из уравнения (1.22) находим

Для идеального газа из формулы (1.21) имеем следующее простое выражение для и:

Наконец, система уравнений с учетом лучевого давления (при отсутствии конвекции), как это видно из формул (1.5) и (1.6), может быть записана в виде