§ 2. ЗВЕЗДЫ ПОЛИТРОПНЫХ СТРУКТУР

Решение основной системы должно давать зависимости pi(x) и Bi(x). Следовательно, в результате решения системы мы можем получить и Bi(pi). При заданном фазовом состоянии материи тогда может быть получена и зависимость Pi(pi). Допустим, что эта зависимость типа pi = pr- где Г — некоторый постоянный показатель. Такая структура звезды называется политропной. Для политропных структур можно сравнительно легко найти зависимости всех характеристик от х. Поэтому для получения первого представления о виде решений системы мы займемся рассмотрением этих структур. Первые работы по исследованию внутреннего строения звезд Эмдена (Emden) и были проведены этим путем.

Политропная зависимость как бы заменяет уравнение теплового   равновесия.   Остается   в  системе  только  одно первое

уравнение. Введем новую переменную Тх, которая для идеального газа равна приведенной температуре:

или

Таким образом,

Подставляя эти выражения в первое уравнение (I), находим  где вместо х введена новая переменная хх:

Уравнение Эмдена (2.8) интегрируется для случая п = 0 и п=1 весьма просто. Действительно, при п = 0, т. е. для звезды постоянной плотности, находим

Откуда легко вычисляются и все другие характеристики. При п — \ подстановка n = T\Xi сводит дифференциальное уравнение (2.8) к простому виду: п" = — п. Следовательно,

Для других индексов политропы п можно получить решение в виде ряда по степеням х\. Все нечетные производные оператора Е должны обращаться в нуль при jci = 0. Для четных же производных легко установить

Теперь непосредственным дифференцированием формулы (2.8) уже нетрудно вычислить значения производных различных порядков функции Т\ при jci = 0 и тем самым определить коэффициенты степенного разложения. Получается следующий ряд:

При помощи (2.13) можно отойти от особой точки Xi = 0, дальнейший же ход решения легко получить численным интегрированием. В результате можно составить таблицу характеристик звездных структур для некоторых п (табл. 1).

Случай п = 3/2 соответствует адиабатическому изменению состояния одноатомного идеального газа (Г = 5/3), а также обыкновенному газу Ферми (1.9). Что касается гс = 3, то этому

состоянию соответствуют: с одной стороны, релятивистский гаа Ферми, а с другой стороны, идеальный газ при Bi = pi — так называемое решение Эддингтона.

Для политропных структур значения Qx. вычисляются точно.

Действительно, интеграл числителя (2.6) преобразуется:

Из уравнения Эмдена следует, что Таким образом,

Из формулы (2.5а) получается другое соотношение между теми, же интегралами, откуда вычисляем

и, подставляя это выражение в формулу (2.6), находим формулу Риттера (Ritter)

Из этого выражения, между прочим, вытекает, что заезда может быть конечных размеров лишь при п < 5.