§ 3. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ

Начнем с рассмотрения системы (1а), справедливой при отсутствии конвекции и малом лучевом давлении. Если коэффициент поглощения х, количество вырабатываемой энергии е и уравнение фазового состояния материи могут быть представлены как произведения различных степеней функций р, В и р, то функции xi = x/xc, ei = e/ec и уравнение фазового состояния будут зависеть только от pi, Вх и pt и не содержать параметров Рс Вс и рс. В этом случае единственным параметром системы будет коэффициент X. Систему (1а) будем исследовать при еще больших ограничениях: допустим, что х не зависит от физических условий, и будем принимать закон идеальных газов; таким образом, мы имеем зависимости

где

Взяв интегралы от обеих частей равенств (2.17), находим  где использованы уже ранее введенные обозначения

Интегрируя (2.19), получим, используя граничные условия, следующие выражения:

Следовательно,

Из выражений (2.21) и (2.20) заключаем, что чем больше концентрация источников энергии, тем больше X. Если интенсивность источников возрастает к центру, то X > 1. При е = const,. ei = l очевидно Х=\. Наконец, если энергия вырабатывается в большей степени в наружных слоях звезды, то X < 1. Из уравнений (2.19) следует

В силу условий pi = 0, Si = 0; pi = l, 5i = l среднее значение производной dBi/dpi всегда равно единице. Так как

приходим к выводу, что в случае центральных источников (X LxJMx,) <. \, а при поверхностных (XLxJMXo) > 1. При

равномерном выделении энергии  = 1, Вх = pi, и мы имеем

рассмотренный в предыдущем параграфе случай политропы третьего класса. Этот частный вид решения был положен Эд-дингтоном в основу его теории внутреннего строения звезд. При п > 3, как легко видеть, (dBi/dpi)x —>- оо, что соответствует Lx„—>- оо. Поэтому можно считать, что случаи п > 3 характеризуют звезду с поверхностными источниками энергии. Политропы класса п <С 3 соответствуют до некоторой степени источникам, усиливающимся к центру. Поэтому данные табл. 1 отвечают наиболее вероятным структурам звезд. Однако следует иметь в виду, что при п < 3 (dBi/dpi)x, =0, как это вытекает из формул (2.7) и (2.7а), и что, следовательно, Ьх„ =0. Таким образом, политропные конфигурации, соответствующие концентрированным источникам, могут иметь место лишь при наличии стока энергии в наружных слоях звезды.

Последовательное дифференцирование формулы (2.22) при использовании системы (2.17) дает возможность вычислить производные Bi(pi) при pi = 1 и таким образом получить для Si(p4) разложение в ряд Тейлора. Первые члены этого разложения имеют вид

Из поверхностного условия Bi = 0 при pi = 0 с помощью этой формулы при достаточном числе членов получается уравнение, определяющее X. Этот прием дает ориентировочное значение /., уточнить которое можно численным интегрированием системы (2.17). Последнюю операцию приходится производить последовательными пробами.

Центр, т. е. х = 0, является особой точкой дифференциальных уравнений (2.17). Отойти от особой точки можно при помощи рядов, после чего (когда сходимость рядов ухудшится) перейти к численному интегрированию. Разложение в ряд легко получить следующим приемом. Систему (2.17) перепишем в виде

Формула (2.12) дает

Тогда последовательное дифференцирование формулы (2.23) с применением (2.24) позволяет вычислить производные различных порядков pi(x) и Bi(x) при х = 0 и получить, таким образом, представление этих функций при помощи рядов Макло-рена. Приведем первые члены этих разложений:

Для численного интегрирования удобно пользоваться следующими выражениями, которые легко получить из системы ,(2.23):

В этой системе вместо fii можно ввести приведенную температуру Ti и вместо р\ новую переменную ui = p'(*:

что дает значительное преимущество благодаря медленным изменениям фуНКЦИЙ Т\ И Ui.

Численное решение можно не доводить до поверхности звезды, так как для внешних слоев уравнения (2.23) могут быть непосредственно проинтегрированы. Действительно, принимая во внешних слоях Mx = MXl, = const и Lx = LXa = const, при помощи (2.19) находим

Уравнение идеальных газов и последнее соотношение из

позволяют написать

Интегрируя теперь первое выражение (2.26), находим

что дает линейный закон возрастания температуры с глубиной в самых наружных слоях звезды.

При нахождении X пробными интегрированиями критерием правильности значения X может служить, как видно из (2.26), постоянство отношения Bi/pi, начиная с некоторых, достаточно далеких от центра значений х. Характер решений очень зависит от изменений X, поэтому этот параметр определяется вполне точно. При численном интегрировании значения функций близ поверхности определяются очень неуверенно. Поэтому для вычисления характеристик LXa и МХо лучше всего воспользоваться

непосредственно их интегральными выражениями (2.20). При нарастающих к центру источниках энергии получается надежно даже при самом приближенном решении системы. Хуже всего определяется хо, которое при известном МХ(, и решении

для достаточно далекого х может быть вычислено по формуле

:

Изложенным способом были получены решения системы для двух видов функции е. Табл. 2 содержит характеристики этих решений в сопоставлении с моделью Эддингтона.

 

Последний столбец этой таблицы содержит характеристику, весьма существенную, как мы увидим в дальнейшем, для соотношения «масса — абсолютная яркость».

Постараемся теперь оценить, какие изменения в характеристиках звездных структур можно ожидать от переменности ко эффициента поглощения. При х, зависящем от физических условий, уравнение (2.22) будет иметь вид

Допустим, что переменность к может быть описана следующим образом:

Рассмотрим простейший случай равномерного распределения источников энергии. Тогда ei = l, LX = MX, и возможно интегрирование уравнения (2.22а):

Из условия в центре звезды (Јi = pi = l) получаем

Следовательно, звезда будет иметь политропную структуру класса

С физической точки зрения наиболее вероятным является уменьшение коэффициента поглощения с глубиной, а также выполнение неравенства а ^3= —1. Так как

то уменьшение щ с возрастанием pi и Si будет при а < р\ Тогда, очевидно, к < 1 и я > 3. Следовательно, переменность х скорее всего будет вызывать повышение класса политропии. Согласно теории фотоэлектрического поглощения

В этом случае а=1, р1 = 1,125, и, следовательно, я = 3,25. В табл. 1 приведены соответствующие значения характеристик х0    и    Мх . Для других характеристик получаем я = 0,94 и

aLx./M3 = к/М2 =3,06- 10~3.  Все эти значения мало отлича-

Хй Хй

ются от тех, которые содержатся в табл. 2. Можно ожидать, что и при других типах распределения источников энергии переменность я будет вызывать эффект того же порядка.

Рассматривая данные табл. 1 и 2, мы видим, что характеристики хо = Мх,2 = 10 и kLxJM3 = 2 • 10~3 меняются сравнительно мало при разнообразных предположениях относительно структуры звезды, т. е. распределения в ней источников энергии.* Эти данные соответствуют случаям: равномерного распределения источников, столь сильной их концентрации, как приблизительная пропорциональность их интенсивности восьмой степени температуры, и политропным структурам, которые отвечают явлениям стока энергии в наружных слоях звезды. Однако следует иметь в виду, что нами не рассмотрены другие возможные случаи выделения энергии, как, например, выделение энергии только в некотором энергетически активном слое, т. е. случай существования максимума е на некотором расстоянии от центра. При таком распределении источников внутри звезды должно быть, как видно из второго уравнения нашей основной системы, изотермическое ядро, и звезда по своей структуре будет приближаться к политропе более высокого класса, чем три. При таком виде функции ei вместо прежнего si можно образовать e/emax = ei, 0 ^ ei ^ 1, которое и будет входить в к. Но в этом случае ei, а следовательно, и все характеристики, получаемые в результате решения системы, будут зависеть от рс и Вс, причем по-прежнему возможность совместного решения системы будет устанавливать определенную связь между этими параметрами. Наконец, возможно, и это мы считаем весьма вероятным, что энергия в звезде выделяется лишь при некоторых определенных соотношениях между В и р в количестве, которого требует совместимость уравнений равновесия. Но для дальнейших выводов нам особенно важно констатировать постоянство характеристики   kLXc/M3x^, приведенной

в  последнем  столбце  табл.  2.  Эта  характеристика может

оставаться приблизительно постоянной даже при таких особенных типах выделения энергии благодаря приблизительно параллельному ходу изменений числителя и знаменателя. Идя путем последовательных приближений, мы считаем себя вправе принять данные наших таблиц как первое приближение, которое может быть уточнено из сравнения с данными наблюдений. Изложенное показывает, что вряд ли целесообразно более строгое исследование системы (2.17). Поэтому мы не останавливались на доказательстве единственности значения параметра к.