§ 1. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ПУЛЬСАЦИИ

Типичные Цефеиды имеют массы менее десяти солнечных масс, например для б Cephei М ^ 9М@. Из уравнения (2.34) следует, что в таком случае ус<0,1, и Цефеиды должны удовлетворять простому выражению L~M3 зависимости масса — абсолютная яркость. Таким образом, для этих звезд согласно нашим представлениям лучевое давление не играет большой роли, и мы можем при рассмотрении их внутреннего строения учитывать только газовое давление. Пренебрегая членами второго порядка малости, будем рассматривать линейные колебания. Задача получает значительное упрощение благодаря тому, что вариации температур должны соответствовать адиабатическим колебаниям почти для всей массы звезды за исключением лишь самых наружных ее слоев. Действительно, для получения наблюдаемых относительных вариаций эффективных температур порядка единицы среднее изменение энергии одного грамма за одну секунду должно быть порядка ё, т. е. ~102, а следовательно, за полпериода около 108. С другой стороны, тепловая энергия единицы массы должна быть порядка Q/M (как это следует из теоремы вириала), т. е. по формуле (2.5) порядка 1015 эрг. Таким образом, за время пульсации относительное изменение энергии составляет всего лишь Ю-7, откуда и следует, что пульсация звезд с весьма высокой точностью адиабатична. Допустим далее, что пульсация может быть описана простой стоячей волной с частотой п/2л:

где V(г) обозначает относительную амплитуду пульсации:

В этих предположениях задача пульсации звезды была решена Эддингтоном.

Связывая координату г с одной и той же частицей, будем иметь уравнение непрерывности в следующем виде:

Пользуясь   условием   адиабатического   изменения состояния и беря вариации от второго равенства, находим

Очевидно, что уравнение движения

с точностью до членов первого порядка может быть записано следующим образом:

Подставляя в это уравнение формулу (3.3), получим уравнение пульсации Эддингтона

Введем вместо г безразмерную переменную х, которой мы пользовались при изучении статических звезд. Как легко видеть,

Подставляя выражение (3.5) в формулу (3.4), получаем следующее уравнение:

Приведем это уравнение к самосопряженному виду. Умножая на хкр\, находим

где

 

Задача определения периода пульсации сводится теперь к нахождению собственных значений Я, при которых дифференциальное уравнение (3.7) имеет решения, удовлетворяющие «естественным» граничным условиям:

Формула (3.8) дает соотношение период — центральная плотность, а следовательно, и соотношение период — средняя плотность звезды. Очевидно, что Я зависит от структуры звезды. Значение Я должно быть порядка единицы. Если звезда имеет постоянную плотность, то х3/(ЗМх) = 1 для всей звезды. В этом случае уравнение (3.7) имеет решение V = const, Я=1. Это решение определяет основное колебание. Для определения основных колебаний звезд других структур мы можем исходить из этого решения, применяя метод возмущений.