§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПУЛЬСАЦИИ МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИИ

Запишем уравнение пульсации в следующем виде:

Допустим, что нам известно решение этого уравнения при некоторой другой функции р = ро:

Следовательно, будем считать, что функция г/о и параметр Яо нам известны. Умножая (3.10) на г/о, (3.11) на у, вычитая одно из другого и интегрируя в пределах, для которых имеются граничные условия, находим

откуда

Предположим, что уравнение (3.10) мало отличается от уравнения (3.11):

Тогда точное выражение для б Я

можно заменить следующим:

Таким образом, в первом приближении имеем

В нашем случае г/о = 1 и Яо=1. Сравнивая формулы (3.10) и (3.7), находим из (3.13)

Это выражение перепишем согласно формуле (2.5а) в следующем виде:

Если в формулу (3.8) вместо рс ввести среднюю плотность звезды р, то

как это следует из формулы (2.4). При помощи формул (2.6) и (3.17) можем переписать (3.15):

где /ж, обозначает безразмерный момент инерции:

Выражения (3.16) и (3.18) определяют период колебаний звезды Р = 2л/п в зависимости от средней плотности звезды р. Этот результат совершенно иным методом был получен Леду (Ledoux). Интересно, что выражения (3.16) и (3.18), как легко показать, вполне точно совпадают с формулой Леду [18].

Произведем вычисление X для политропных структур. В этом случае для 1Хо можно получить следующее выражение:

где п означает индекс политропы. Таким образом,

Вычисления дают следующую таблицу значений X для различных классов политропии (табл. 5).

При больших X, т. е. при сильных отклонениях от единицы, точность данных этой таблицы должна ухудшаться. Поэтому для контроля точности метода интересно сопоставить полученные результаты при п = 3 с вычислениями постоянной в зависимости период — средняя плотность, произведенными Эддингто-ном, путем точного решения уравнения адиабатических колебаний звезды, построенной по его модели. Эддингтон на основании своих вычислений заключил, что для таких звезд п2/(яСрсГ) = (3/ю) (3 — 4/Г). Отсюда, сопоставляя с формулой (3.8), находим X = 9/40. Следовательно, X = рс/р ■ 9/« = 12,23, что хорошо согласуется с нашими данными.