ЗАДАЧА 14.1. Модель «частиц в ящике»

а.         Опишите временную эволюцию числа частиц в левой половине ящи-ка. Рассмотрите N = 10, 20, 40 и 80, при этом задавайте все Nчастиц в начальный момент в левой половине.

б.         Как качественно характеризуется равновесие? Эволюционирует лисистема к равновесию? Можете ли вы определить направление време-ни? Какое приблизительно время требуется системе, чтобы достиг-нуть равновесия?

в.         Модифицируйте программу box, чтобы число частиц с левой сто-роны усреднялось по нескольким испытаниям. Какое определение ве-роятности используется при получении среднего числа <п(г)> накаждом шаге по времени О Совпадает ли это определение с исполь-зованным при рассмотрении точного перебора в § 14.3? Если обаопределения неодинаковы, то равносильны ли они?

г.         Одним из способов убедиться в том, что модифицированная вамипрограмма box работает правильно, является сравнение результатовдля <n(t)>, полученных методом Монте-Карло и точным перебором.Возьмите какое-нибудь небольшое значение N, например N = 4, иприменяя точный перебор, вычислите <n(t)> точно для несколькихшагов по времени. Затем возьмите достаточно большое число испы-таний, чтобы получить правдоподобную оценку для <п(ф, и убеди-тесь в том, что ваши результаты совпадают.

д.         Пропустите модифицированную вами программу box с N = 10, при-чем все частицы в начальный момент времени поместите в левую по-ловину ящика. Нарисуйте график зависимости п—числа частиц с ле-вой стороны—от времени для пяти разных испытаний. Затем нари-суйте п как функцию времени, усреднив по тем же пяти испытаниям.Сравните временную зависимость п для одного испытания с зависи-мостью п, усредненной по нескольким испытаниям.

е.         Мерой равновесных флуктуации служит дисперсия (г2, определяе-мая равенством

Угловые скобки показывают усреднение по времени, проведенное после того, как система пришла в равновесное состояние. Относительная величина флуктуации составляет с/<п>. Модифицируйте программу box так, чтобы после достижения системой равновесия вычислялась относительная флуктуация в с.

ж.        Определите время установления равновесного состояния, <п> и07'<п> для N = 20, 40 и 80. Как эти различные физические величинызависят от N7