10.3.   ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Многие физические задачи содержат усреднение по многим переменным. Например, предположим, что нам известна зависимость от скорости и координаты полной энергии системы десяти взаимодействующих между собой   частиц.   Поскольку   в  трехмерном   пространстве   каждая частица

имеет по три компоненты скорости и координаты, то полная энергия является функцией 60 переменных. Следовательно, для расчета средней энергии, приходящейся на частицу, требуется вычислять N = 60-мериый интеграл. Если разделить область изменения каждой координаты иа р отрезков, то в данном случае потребуется вычислять сумму по р60 точкам. Совершенно очевидно, что для больших значений N применять обычные численные методы нельзя; тем ие менее стандартные методы все еще используются для N = 2—5.

Дополнительное усложнение в вычисление Л^-мериых интегралов вносит трудность определения N -1 пределов интегрирования. По сравнению с этим границы одномерного интеграла представляются двумя числами: верхним и нижним пределами.

Простейший метод оценки многомерных интегралов заключается в сведении этих интегралов к произведению одномерных интегралов. Данный метод эффективен в случае простых пределов интегрирования и гладких подынтегральных функций. Проиллюстрируем метод иа примере двумерного интеграла вида

Область интегрирования определяется нижним и верхним пределами у при данном значении х, обозначенными соответственно у^х) и у2(х), и нижним и верхним пределами х, обозначенными соответственно х^ и Хр Определим функцию g(x) как внутренний интеграл по переменной у.

и запишем

Ниже приводится структура программы двумерного интегрирования. Заметим, что для простоты использован метод прямоугольников.

Подпись: